Колебание функции

Колебание функции на множестве $E$ — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек $x_{1}$, $x_{2}$ $\in$ $E$.

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина $\omega (f,E)=\sup _{x_{1},x_{2}\in E}|f(x_{1})-f(x_{2})|$ называется колебанием функции $f:X\to \mathbb {R}$ на множестве $E\subset X$.

Если теперь фиксировать $\delta >0$, то можно определить колебание функции $f$ на множестве $U_{E}^{\delta }(a)$; функция $\omega (f,a,\delta )=\omega \left(f,U_{E}^{\delta }(a)\right)$ является невозрастающей функцией при $\delta \to +0$ и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при $\delta \to +0$,
• либо для любого $\delta >0$ будет $\omega (f,a)=+\infty$.

Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке.

Связанное определение

Величина $\omega (f,a)\colon =\lim _{\delta \to +0}\omega (f,U_{E}^{\delta }(a))$ называется колебанием функции $f$ в точке $a$.

Свойства

• Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $a\in E$, предельной для множества $E$ тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

$f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \omega (f,a)=0$.

• Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывна на множестве $E$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует элемент $B$ базы $\mathbb {B}$, колебание на котором будет меньше чем заданное $\varepsilon$:

$f\in C(E)\Leftrightarrow \exists B\in \mathbb {B} \colon \omega (f,B)<\varepsilon$.

См. также

• Модуль непрерывности
• Критерий Коши
• Предел вдоль фильтра