Компланарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости[1].

Обозначения[править | править вики-текст]

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности[править | править вики-текст]

Пусть  — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Другие объекты[править | править вики-текст]

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115

См. также[править | править вики-текст]