Лемма Адамара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].

Пусть — функция класса , где , определенная в выпуклой окрестности точки . Тогда существуют такие функции класса , определенные в , что для всех имеет место равенство[1]


Если функция — аналитическая, то и функции в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка[править | править вики-текст]

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров[2]:

Пусть — функция класса , где , определенная в выпуклой окрестности точки , при этом и . Тогда существуют такие функции класса , определенные в , что для всех имеет место равенство


Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию , где — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть пробегает значения из отрезка , тогда функция , рассматриваемая как функция при каждом фиксированном значении параметра , пробегает в пространстве функций от переменных некоторую кривую с концами и .

Рассматривая как функцию переменной , зависящую от параметров и , и применяя формулу Ньютона—Лейбница, можно записать:

где

Требуемая гладкость функций следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения[править | править вики-текст]

Лемма Адамара позволяет получит ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей[2].

  • Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции обращается в нуль на гиперплоскости , то он представим в виде где — некоторая гладкая функция.
  • Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции имеет место представление где и — гладкие функции.
  • Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

где и — гладкие функции и — произвольное натуральное число.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В.А. Математический анализ.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Зорич В.А. Математический анализ.
  2. 1 2 А. О. Ремизов. Введение в теорию особенностей