Лемма Адамара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].

Пусть f: \R^n\to\R — функция класса \,C^{r}, где r \ge 1, определенная в выпуклой окрестности U точки 0. Тогда существуют такие функции g_1, \ldots, g_n: \R^n\to\R класса \,C^{r-1}, определенные в U, что для всех x=(x_1, \ldots, x_n)\in U имеет место равенство[2]

f(x_1, \ldots, x_n) = f(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x_1, \ldots, x_n), \ \quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).


Если функция f — аналитическая, то и функции g_1, \ldots, g_n в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка[править | править вики-текст]

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров[3]:

Пусть f(x,y): \R^n \times \R^m \to\R — функция класса \,C^{r}, где r \ge 1, определенная в выпуклой окрестности U точки 0, при этом x=(x_1, \ldots, x_n) и y=(y_1, \ldots, y_m). Тогда существуют такие функции g_1(x,y), \ldots, g_n(x,y): \R^n \times \R^m \to\R класса \,C^{r-1}, определенные в U, что для всех (x,y)\in U имеет место равенство

f(x,y) = f(0,y) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x,y), \ \quad g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).


Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию f(tx,y) = f(tx_1,\ldots,tx_n, y_1,\ldots,y_m), где t — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть t пробегает значения из отрезка [0,1], тогда функция \,f(tx,y), рассматриваемая как функция \R^{n+m} \to \R при каждом фиксированном значении параметра t, пробегает в пространстве функций от n+m переменных некоторую кривую с концами \,f(0,y) и \,f(x,y).

Рассматривая \,f(tx,y) как функцию переменной t, зависящую от параметров x \in R^n и y \in R^m, и применяя формулу Ньютона—Лейбница, можно записать:

 f(x,y) - f(0,y) = \int_{0}^{1} \frac{d f(tx,y)}{dt}\,dt = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt = \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x,y),

где

 g_i(x,y) := \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt.

Требуемая гладкость функций g_i(x,y)\, следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения[править | править вики-текст]

Лемма Адамара позволяет получит ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей[4].

  • Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции f(x,y_1, \ldots, y_m) обращается в нуль на гиперплоскости \,x=0, то он представим в виде f=x\,g(x,y_1, \ldots, y_m), где \,g — некоторая гладкая функция.
  • Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции f(x,y_1, \ldots, y_m) имеет место представление f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,g(x,y_1, \ldots, y_m), где f_0=f(0,y_1, \ldots, y_m) и \,g — гладкие функции.
  • Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:
f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,f_1(y_1, \ldots, y_m) + \cdots+ x^n\,f_n(y_1, \ldots, y_m) + 
x^{n+1}\,g(x,y_1, \ldots, y_m),

где f_i(y_1, \ldots, y_m) и \,g — гладкие функции и \,n — произвольное натуральное число.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В.А. Математический анализ.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Зорич В.А. Математический анализ.
  2. Зорич В.А. Математический анализ.
  3. А. О. Ремизов. Введение в теорию особенностей
  4. А. О. Ремизов. Введение в теорию особенностей