Лемма Бёрнсайда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойа.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — конечная группа подстановок, действующая на множестве . Для любого элемента из будем обозначать через множество элементов , оставляемых на месте , то есть

Лемма Бёрнсайда даёт формулу числа орбит группы , обозначаемого :

Число орбит (натуральное число или бесконечность) равно среднему количеству точек, оставляемых на месте элементом из .

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство основано на подсчёте числа элементов одного множества двумя способами.

Обозначим через стабилизатор элемента , то есть . Заметим, что

где обозначает орбиту точки . Тогда

где обозначает пространство орбит действия.

Следствия[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература[править | править вики-текст]

  • Burnside, William. Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.