Действие группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вращения вокруг центра равностороннего треугольника на углы, кратные 120°, действуют на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения[править | править вики-текст]

Действие слева[править | править вики-текст]

Говорят, что группа действует слева на множестве , если задан гомоморфизм из группы в симметрическую группу множества . Для краткости часто записывают как , или . Элементы группы называются в этом случае преобразованиями, а сама группа группой преобразований множества .

Другими словами, группа действует слева на множестве , если задано отображение . обозначаемое , такое что

  1. для всех , и
  2. , где — нейтральный элемент группы . Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа[править | править вики-текст]

Аналогично, правое действие группы на задаётся гомоморфизмом , где инверсная группа группы . При этом часто используют сокращенное обозначение: . При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Любое правое действие группы — это левое действие . Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение ), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
  • Если множество снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение сохраняет эту структуру.
    • Например, если топологическое пространство, то предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.

Типы действий[править | править вики-текст]

  • Свободное, если для любых различных и любого выполняется .
  • Транзитивное если для любых существует такой, что . Другими словами, действие транзитивно, если для любого элемента .
  • Эффективное, если для любых двух элементов в существует такой, что .
  • Вполне разрывное, если для любого компактного множества , множество всех , для которых пересечение непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

  • Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
    • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.

Орбиты[править | править вики-текст]

Подмножество

называется орбитой элемента .

Действие группы на множестве определяет на нём отношение эквивалентности

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно , то

где попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия .

Стабилизаторы[править | править вики-текст]

Подмножество

является подгруппой группы и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента .

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если , то найдется такой элемент , что

Количество элементов в орбите[править | править вики-текст]

, — стабилизатор элемента и индекс подгруппы , в случае конечных групп равен .

Если , то

формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

  1. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий[править | править вики-текст]

Действия на себе[править | править вики-текст]

Слева[править | править вики-текст]

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, и гомоморфизм задан как .

Справа[править | править вики-текст]

Аналогично определяется действие на себе справа, .

Слева и справа[править | править вики-текст]

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения на с гомоморфизмом заданным как .

Сопряжениями[править | править вики-текст]

Пусть и гомоморфизм задан как . При этом для каждого элемента стабилизатор совпадает с централизатором :

Например, для элемента из центра группы (то есть ) имеем и .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..