Матричная теорема о деревьях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матричная теорема о деревьях (англ. Matrix tree theorem), также известная как теорема Кирхгофа — теорема теории конечных графов.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть — связный помеченный граф с матрицей Кирхгофа . Все алгебраические дополнения матрицы Кирхгофа равны между собой и их общее значение равно количеству остовных деревьев (каркасов) графа .

Доказательство[править | править вики-текст]

Пример[править | править вики-текст]

граф G каркасы (3 шт)

Для графа G с матрицей смежности   получаем: .

Алгебраическое дополнение, например, элемента M1, 2 есть , что совпадает с количеством каркасов.

Обобщения[править | править вики-текст]

Теорема обобщается на случай мультиграфов и взвешенных графов. Для взвешенного графа алгебраические дополнения элементов матрицы Кирхгофа равны сумме произведений проводимости всех остовов. Частный случай получается, если взять проводимости равными 1: сумма произведений проводимостей остовов будет равна количеству остовов.


Ссылки[править | править вики-текст]