Многообразие Уайтхеда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Первые три полнотория в построении

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным \R^3. Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Построение[править | править вики-текст]

зацепление Уайтхеда

Для построения в трёхмерной сфере выбирается незаузленное полноторие T_1, далее — второе полноторие T_2 в T_1 так, что T_2 и трубчатая окрестность меридиана T_1 образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом T_2 можно стянуть в дополнении меридиана T_1 и меридиан T_1 можно стянуть в дополнении T_2.

Далее строится полноторие T_3, вложенное в T_2 тем же способом, как и T_2 для T_1; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

T_1\subset T_2\subset T_3\subset\dots

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

W=\bigcap_i T_i.

Дополнение W в трёхмерной сфере и есть многообразие Уайтхеда.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Многообразие Уайтхеда, W, не гомеоморфно \R^3, но произведение W\times \R гомеоморфно \R^4.
  • Многообразие Уайтхеда содержит компактное множество K такое, что для любого друго компатного множества K'\supset K дополнение W\backslash K' не односвязно.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]