Надстройка (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В топологии, надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство SX, являющееся фактором произведения X\times [0,1] по отношению эквивалентности (x,0)\sim (x',0), \quad (x,1)\sim (x',1):

SX = (X \times [0,1])/\{\forall x_1,x_2 \in X \quad (x_1,0)\sim(x_2,0), \quad (x_1,1)\sim(x_2,1)\}
Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, настройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну X\star S^0 пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») S^0.
  • Любое непрерывное отображение f:X\to Y продолжается до отображения Sf: SX\to SY по правилу Sf(x,t)=(f(x),t).
  • Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: \overline{H}_k(SX)=\overline{H}_{k-1}(X) для всех k.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]