Неравенство Виртингера

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : R → R является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

$\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0$.

Тогда

$\int \limits _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)dx$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

$f(x)=a\sin x+b\cos x$, при каких-то a и b

или, что то же самое,

$f(x)=c\sin(x+d)$ при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемы

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве $L^{2}$ производной и самой функции:

${\|f\|}_{L^{2}}^{2}\leq {\|f'\|}_{L^{2}}^{2}$

В такой форме неравенство является одномерным аналогом неравенства Фридрихса.

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.