Периодическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди́ческая фу́нкцияфункция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом , если для каждой точки из её области определения точки и также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство .

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где  — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция (где  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание[править | править вики-текст]

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как
  • Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом .
  • Функция, равная константе , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций[править | править вики-текст]

  • Сумма двух функций с соизмеримыми периодами и не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному и (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции основной период равен , у функции период равен , а у их суммы основной период, очевидно, равен .
  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]