Граница Варшамова — Гилберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Граница Варша́мова — Ги́лберта — неравенство, которое определяет предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных), полученное независимо Эдгаром Гилбертом[en] и Ромом Варшамовым[en]. Иногда употребляется название неравенство Гилберта — Шеннона — Варшамова, а в иноязычной научной литературе — неравенство Гилберта — Варшамова.

Формулировка[править | править код]

Пусть

обозначает максимально возможную мощность -чного кода длины и расстояния Хэмминга (-чным кодом является код с символами из поля , состоящего из элементов).

Тогда

Когда является степенью простого числа, можно упростить неравенство до , где  — наибольшее целое число, для которого .

Доказательство[править | править код]

Пусть  — код максимальной мощности при длине и расстоянии Хэмминга  :

Тогда для любого существует по крайней мере одно кодовое слово , так что расстояние Хэмминга между и удовлетворяет

потому как в противном случае мы могли бы расширить код с помощью слова , оставив расстояние Хэмминга неизменным, что противоречит предположению относительно максимальной мощности .

Поэтому поле можно упаковать объединением множеств всех сфер радиуса с центром в :

Объём каждого шара

потому что мы можем позволить (или выбрать) не более чем -му из компонентов кодового слова принять одно из других возможных значений. Поэтому верно следующее неравенство

То есть

(подставив ).

Литература[править | править код]

  • Gilbert E. N. A comparison of signalling alphabets // Bell System Technical Journal, 31:504-522 [1], 1952.
  • Варшамов Р. Р. Оценка числа сигналов в кодах с коррекцией ошибок // Доклады Академии наук СССР, 117(5):739-741 [1], 1957.

См. также[править | править код]