Неравенство Джексона — Стечкина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:

В примере величина наилучшего приближения функции полиномами степени в пространстве оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции в точке . Величина называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа , при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.

История[править | править вики-текст]

Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (англ. Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что

и

Здесь есть величина наилучшего приближения функции в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени . В первом неравенстве функция предполагается непрерывной, а во втором — -раз дифференцируемой.

В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка . В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что

и

Здесь константы не зависят от , или . В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.

В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:

В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах для всех :

Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.