Несобственный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком .
  • Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода[править | править вики-текст]

Пусть определена и непрерывна на интервале и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода[править | править вики-текст]

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры[править | править вики-текст]

Несобственные интегралы II рода[править | править вики-текст]

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода[править | править вики-текст]

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример[править | править вики-текст]

Отдельный случай[править | править вики-текст]

Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .

Тогда можно найти несобственный интеграл

Критерий Коши[править | править вики-текст]

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится

Абсолютная сходимость[править | править вики-текст]

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость[править | править вики-текст]

Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.

См. также[править | править вики-текст]


Список используемой литературы[править | править вики-текст]

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.