Определённый интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть определена на отрезке . Разобьём на части несколькими произвольными точками: .

Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , .

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначения[править | править вики-текст]

  •  — нижний предел.
  •  — верхний предел.
  •  — подынтегральная функция.
  •  — длина частичного отрезка.
  •  — интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
  •  — максимальная из длин частичных отрезков.

Свойства[править | править вики-текст]

Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Примеры вычислений[править | править вики-текст]

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

См. также[править | править вики-текст]