Определённый интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].[1] В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)[2].

Что такое определённый интеграл, анимация (нажмите для воспроизведения)

Определение[править | править код]

Пусть функция определена на отрезке . Разобьём на части несколькими произвольными точками: . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее, для каждого от до выберем произвольную точку .

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначения[править | править код]

  •  — нижний предел.
  •  — верхний предел.
  •  — подынтегральная функция.
  •  — длина частичного отрезка.
  •  — ранг разбиения, максимальная из длин частичных отрезков.

Геометрический смысл[править | править код]

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .[1]

Свойства[править | править код]

  • Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.

Примеры вычислений[править | править код]

Далее приведены примеры расчёта определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Определённый интеграл // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.