Определённый интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть f(x) определена на отрезке [a ; b]. Разобьём [a ; b] на части несколькими произвольными точками: a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} = b.

Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a ; b]. Далее выберем произвольную точку \xi_{i} \in [x_{i} ; x_{i+1}], i=\overline{0,n-1}.

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a ; b]называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю \lambda_{R}\rightarrow 0, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек \xi_{i}, то есть

\int\limits^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}

Если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на [a ; b] по Риману.

Обозначения[править | править вики-текст]

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx

  • a — нижний предел.
  • b — верхний предел.
  • f(x) — подынтегральная функция.
  • \Delta x_{i} — длина частичного отрезка.
  • \sigma_{R} — интегральная сумма от функции f(x) на [a ; b] соответствующей разбиению R.
  • \lambda_{R}=\sup{\Delta x_i} — супремум длин частичных отрезков.

Свойства[править | править вики-текст]

Если функция f(x) интегрируема по Риману на [a ; b], то она ограничена на нем.

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл \int\limits_a^b f(x)\, dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

Примеры вычислений[править | править вики-текст]

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. \int\limits_8^9 x^2\,dx = \Bigl. \frac {x^3}{3} \Bigr|_8^9 = \frac {729}{3} - \frac {512}{3} = \frac {217}{3} = 72,(3) \approx 72,3

2. \int\limits_1^b \frac {dx}{x} = \Bigl. \log x \Bigr|_1^b = \log b

3. \int\limits_1^4 \frac {2dx}{x} = \log16 \approx 1,2

См. также[править | править вики-текст]