Нормальное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля для которого каждый неприводимый многочлен над , имеющий хотя бы один корень в , разлагается в на линейные множители.

Равносильное определение: Если , где  — алгебраическое замыкание поля , то нормально, если любой изоморфизм поля в алгебраическое замыкание над является автоморфизмом поля .

Нормальное расширение как поле разложения[править | править вики-текст]

Всякое расширение является нормальным тогда и только тогда, когда является полем разложения некоторого множества многочленов из .

Нормальные расширения в соответствии Галуа[править | править вики-текст]

Если  — расширение Галуа поля , а  — какое-нибудь промежуточное подполе , то группа Галуа по определению состоит из всех автоморфизмов , оставляющих элементы неподвижными. Если  — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа , отображающий на то, очевидно, что

Поэтому расширение нормально тогда и только тогда, когда подгруппа является нормальной подгруппой в (отсюда и терминология).

Литература[править | править вики-текст]