Неприводимый многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неприводимый многочленмногочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Определение[править | править исходный текст]

Неприводимый многочлен над полем kмногочлен p(x_1,x_2,..,x_n) от n переменных над полем k является простым элементом кольца k[x_1,x_2,..,x_n], то есть, непредставим в виде произведения p=qr, где q и r ― многочлены с коэффициентами из k, отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Кольцо многочленов k[x_1,x_2,..,x_n] факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
  • Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
  • Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен x^n+px+p, где n>1 и p ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
  • Если k = F_qконечное поле из q элементов, а n — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из k[x].
  • Предположим Aцелозамкнутое кольцо с полем частных k (например A=\Z и k=\mathbb Q) и p\in A[x] ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p=qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то q,r\in A[x].
  • Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности \sigma:A\to B. Если степень многочлена \sigma(p) совпадает со степенью многочлена p и \sigma(p) неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p=qr, где p, r\in A[x] и отличны от константы.
    • Например, многочлен p со старшим коэффициентом 1 прост в \Z[x] (и, следовательно, неприводим в \mathbb Q[x]), если прост многочлен \sigma(p), полученный из p редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры[править | править исходный текст]

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)},
p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)},
p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}.

Над кольцом \Z целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем \Q рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.

Над полем \R действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но p_5(x) является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена x^4 + 1 в поле действительных чисел имеет вид (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1). Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем \C комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен p(x) над \C может быть разложен на множители вида:

 p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)

где  \ n степень многочлена,  \ a — старший коэффициент, \ z_1,\ldots,z_nкорни \ p(x). Поэтому единственными неприводимыми многочленами над  \C являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля[править | править исходный текст]

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем  \Q могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен  x ^ 2 +1 является неприводимым над  \Q , но над полем \mathbb F_2 из двух элементов мы имеем:

 (x ^ 2 +1) = (x +1) ^ 2 \,

Литература[править | править исходный текст]

  • ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
  • Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
  • Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.