Область Зигеля

Верхняя полуплоскость

О́бласть Зи́геля — неограниченная область $D(V)$ в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе $V$.

Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году.

Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля.

Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода, сложнее — 2-го рода и ещё сложнее — 3-го рода. Области Зигеля 1-го рода — частные случаи областей Зигеля 2-го рода, а области 2-го рода — частные случаи областей Зигеля 3-го рода.

Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей.

В этой статье, так как по условию конус $V$ не может включать целую прямую, этот конус рассматривается в такой системе координат, в которой он принадлежит следующему ортанту:

$y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.$

Также в этой статье для областей Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ размерность линейного пространства вектор-функций $c(t)$, согласованных с формой $L_{t}(u,\,v)$ и биголоморфных в ${\mathcal {D}}$, равна удвоенной размерности этой формы.

Область Зигеля первого рода

Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода, показано, что всякая область Зигеля 1-го рода $D(V)$ может быть биголоморфно отображена на некоторую ограниченную область, а также выяснен вид голоморфных автоморфизмов, оставляющих на месте «бесконечно удаленную точку» области $D(V)$.

Определение области Зигеля первого рода

Обозначим через $V$ открытый выпуклый конус в вещественном $n$-мерном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, причём пересечение конуса $V$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этой статье используются только такие конусы.

Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество $D(V)$ точек $n$-мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z),$ $D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)$:

$D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.$

При $n=1$ одномерный конус одномерного пространства $\mathbb {R}$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода.

Отображение области Зигеля первого рода

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода $D(V)$ в $\mathbb {C} ^{n}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области, которая принадлежит прямому произведению $n$ кругов.

Доказательство. По условию конус $V$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус $V$ принадлежит следующему ортанту:

$y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.$

Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода $D(V)$ принадлежит следующей $n$-мерной области:

$\operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,$

А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению $n$ кругов, которое ограничено. □

Остов области Зигеля первого рода

Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы $\partial D(V)$ области Зигеля 1-го рода $D(V)$, которая состоит из точек вида $z=x$. Заметим, что вещественная размерность остова равна комплексной размерности $n$ всей области $D(V)$.

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода $D(V)$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области $D(V)$, голоморфном в замыкании области ${\overline {D(V)}}$.

Доказательство. Обозначим через $H_{\overline {D(V)}}$ множество всех голоморфных в ${\overline {D(V)}}$ функций, которые имеют максимум в ${\overline {D(V)}}$. Тогда для любой голоморфной функции $f(z)\in H_{\overline {D(V)}}$ найдётся точка остова, в которой функция $f(z)$ имеет максимум модуля.

Обратно, для любой точки остова $z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})$ найдётся голоморфная функция $f(z)\in H_{\overline {D(V)}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция:

$f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}$. □

Автоморфизм области Зигеля первого рода

Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва.

Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости $\mathbb {C} (\zeta )$ функция $f(\zeta )$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости $\operatorname {Im} \zeta >0$ при условии $\operatorname {Im} f(\zeta )>0$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости $\operatorname {Im} \zeta \geqslant 0$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде:

$f(\zeta )=a\zeta +b$,

где $a>0$ и $b$ — вещественные числа.

Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода $D(V)$, непрерывный в замыкании ${\overline {D(V)}}$, имеет следующий матричный линейный вид:

$\mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b}$,

где $\mathbf {A}$ — аффинное преобразование вещественного конуса $V$ на себя самого, $\mathbf {b}$ — вещественный вектор.

Доказательство

Не умаляя общности, предположим, что область Зигеля 1-го рода $D(V)$ лежит в области

$\operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,$

и пусть

$z\to \varphi (z)=(\varphi _{1}(z),\,\varphi _{2}(z),\,\dots ,\,\varphi _{n}(z))$

есть голоморфный автоморфизм $D(V)$, непрерывный в замыкании ${\overline {D(V)}}$.

Для любого $1\leqslant k\leqslant n$ и произвольной точки $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\in D(V)$ сконструируем вспомогательную функцию $f(\zeta )=\varphi _{k}(x_{0}+\zeta y_{0})$, $\zeta \in \mathbb {C}$. Эта функция удовлетворяет лемме Чеботарёва, следовательно, она линейная. Поэтому и $z\to \varphi (z)$ есть линейное преобразование

$\varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Az} +\mathbf {b}$

комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, где $\mathbf {A}$ — некоторая комплексная матрица, $\mathbf {b}$ — некоторый комплексный вектор.

Так как остов области Зигеля первого рода $D(V)$ nepeходит сама в себя при отображении $\mathbf {z} \to \varphi (\mathbf {z} )$ по теореме об автоморфизме остова, то $\mathbf {A}$ и $\mathbf {b}$ вещественны.

Запишем вещественную и мнимую части отдельно:

$\varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Ax} +\mathbf {b} +i\mathbf {Ay}$,

другими словами, если $\mathbf {y} \in V$, то тогда и $\mathbf {Ay} \in V$. С другой стороны, обратное преобразование $\mathbf {z} \to \varphi ^{-1}(\mathbf {z} )$ к преобразованию

$\mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b}$

можно записать как

$\mathbf {z} \to \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {z} -\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$,

следовательно, если $\mathbf {y} \in V$, то тогда и $\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} \in V$. Итак, $\mathbf {A}$ — матрица аффинного преобразования конуса $V$ на самого себя.

Элемент объёма в области Зигеля первого рода

Предложение 1. Произвольная ограниченная область комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов.

Найдём формулу инвариантного элемента объёма $dv$ в области Зигеля 1-го рода $D(V)$. Пусть

$dv=\lambda (x,\,y)dxdy,$

где

$dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$, $\quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}$.

Так как для области $D(V)$ возможно преобразование вида $\mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b}$, где $\mathbf {b}$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент $\lambda$ не зависит от $x$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода $D(V)$ имеет следующий вид:

$dv=\lambda (y)dxdy.$

Кроме того, если $\mathbf {y} \to \mathbf {Ay}$ есть аффинное преобразование конуса $V$, то тогда $\mathbf {z} \to \mathbf {Az}$ — преобразование области $D(V)$, следовательно, имеем следующее равенство:

$\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )$.

Связь с неприводимыми симметрическими областями

Математически интересны аналитически однородные области $D(V)$. Область $D(V)$ аналитически однородна, если конус $V$ линейно однороден, то есть для произвольных двух точек $y_{1},\,y_{2}\in V$ найдётся аффинное преобразование конуса $V$ на себя такое, что точка $y_{1}$ переходит в точку $y_{2}$. В таких областях инвариантный элемент объёма $\lambda (\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}$.

Предложение 1. Если $V_{1}\in \mathbb {R} ^{n_{1}}$, $V_{2}\in \mathbb {R} ^{n_{2}}$ — однородные конусы, то множество всех точек $(y_{1},\,y_{2})$, $y_{1}\in V_{1}$, $y_{2}\in V_{2}$, составляет однородный конус в $\mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}$.

Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце.

Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими типов I—IV, биголоморфно эквивалентными неприводимым конусам.

Cоответствующие области Зигеля 1-го рода всех описанных ниже однородных конусов — симметрические.

Область Зигеля первого рода типа I

Пусть $\mathbf {Y} =(y_{ks})$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка $p$. Произвольной матрице $\mathbf {Y}$ поставим в соответствие точку пространства $\mathbb {R} ^{p^{2}}$ со следующими координатами:

$y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,\operatorname {Re} y_{21},\,\operatorname {Im} y_{21},\,\dots ,\,\operatorname {Re} y_{p,\,p-1},\,\operatorname {Im} y_{p,\,p-1}.$

Предложение 1. Множество точек в $\mathbb {R} ^{p^{2}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

$\mathbf {Y} \to \mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A}$,

где $\mathbf {A}$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка $p$, $\mathbf {A} ^{*}$ — эрмитово сопряжённая матрица матрицы $\mathbf {A}$.

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ порядка $p$, где $\mathbf {X}$ — произвольная эрмитова, а $\mathbf {Y}$ — положительно определённая эрмитова матрица.

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке $\mathbf {Z} =i\mathbf {E}$ имеет вид $\mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}$.

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа I с условием $p=q$.

Область Зигеля первого рода типа II

Пусть $\mathbf {Y}$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка $2p$ со следующими условиями:

$\mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}$, $\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {j} \end{pmatrix}}$, $\quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$.

Перепишем $\mathbf {Y} =(\mathbf {y} _{ks})$, $k,\,s=1,\,\dots ,\,p$, где $\mathbf {y} _{ks}$ — матрицы порядка 2. Тогда условия перепишутся в виде

$\mathbf {y} _{ks}^{*}=\mathbf {y} _{sk}$, $\quad \mathbf {y} _{ks}\mathbf {j} =\mathbf {j} {\bar {\mathbf {y} }}_{ks}$,

откуда следуют соотношения

$\mathbf {y} _{kk}={\begin{pmatrix}u_{kk}&0\\0&u_{kk}\end{pmatrix}}$, $\quad \mathbf {y} _{ks}={\begin{pmatrix}u_{ks}&v_{ks}\\-{\bar {v}}_{ks}&{\bar {u}}_{ks}\end{pmatrix}}$,

$k<s$, $\quad u_{ks}=a_{ks}+ib_{ks}$, $\quad v_{ks}=c_{ks}+id_{ks}$,

где $u_{kk}$, $a_{ks}$, $b_{ks}$, $c_{ks}$, $d_{ks}$ — вещественные числа, которые можно принять за координаты.

Предложение 1. Так построенные матрицы $\mathbf {Y}$ образуют пространство $\mathbb {R} ^{p(2p-1)}$.

Предложение 2. Множество точек $\mathbb {R} ^{p(2p-1)}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют следующий вид:

$\mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A}$,

где $\mathbf {A}$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка $2p$, причём $\mathbf {A} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {A} }}$. Построенный конус образован всеми положительно определёнными кватернионными матрицами.

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ порядка $2p$, где

$\mathbf {X} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {X} }}$, $\quad \mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X}$, $\quad \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}$, $\quad \mathbf {Y} ^{*}=\mathbf {Y}$, $\quad \mathbf {Y} >0$,

другими словами, $\mathbf {Z} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Z} }}$ и матрица ${\frac {1}{i}}(\mathbf {Z} -\mathbf {Z} ^{*})$ положительно определена.

Предложение 3. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке $\mathbf {Z} =i\mathbf {E}$ имеет вид $\mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}$.

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа II с чётным $p$.

Область Зигеля первого рода типа III

Пусть $\mathbf {Y} =(y_{ks})$ — все вещественные симметрические матрицы порядка $p$. Произвольной матрице $\mathbf {Y}$ поставим в соответствие точку пространства $\mathbb {R} ^{p(p+1)/2}$ со следующими координатами:

$y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,y_{21},\,\dots ,\,y_{p,\,p-1}.$

Предложение 1. Множество точек в $\mathbb {R} ^{p(p+1)/2}$, которые соответствуют только положительно определённым симметрическим матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

$\mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {Y} \mathbf {A}$,

где $\mathbf {A}$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка $p$, $\mathbf {A} ^{T}$ — транспонированная матрица матрицы $\mathbf {A}$.

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество симметрических комплексных матриц $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ порядка $p$, где $\mathbf {X}$ — произвольная вещественная симметрическая матрица, а $\mathbf {Y}$ — вещественная симметрическая положительно определённая матрица.

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке $\mathbf {Z} =i\mathbf {E}$ имеет вид $\mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}$.

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля.

Область Зигеля первого рода типа IV

Пусть конус в вещественном пространстве $\mathbb {R} ^{n}(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})$ определяется следующими неравенствами:

$y_{1}y_{2}-y_{3}^{2}-\cdots -y_{n}^{2}>0$, $\quad y_{1}>0$.

Предложение 1. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

$\mathbf {y} \to \mathbf {A} \mathbf {y}$, $\quad \mathbf {A} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {A} =\lambda \mathbf {H}$, $\quad \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{matrix}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {E} \end{pmatrix}}$

где $\lambda$ — произвольное положительное число.

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество всех точек $z=x+iy$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, где $x$ — произвольное, а $y$ лежит на конусе..

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке $z=(i,\,i,\,0,\,\dots ,\,0)$ имеет следующий вид:

$z=(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {-z_{2}}{\lambda (z)}},\,{\frac {-z_{1}}{\lambda (z)}},\,{\frac {z_{3}}{\lambda (z)}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n}}{\lambda (z)}}\right),$

$\lambda (z)=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}-\cdots -z_{n}^{2}.$

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа IV.

Самосопряжённые однородные конусы

Э. Винберг создал классификацию аффинно однородных конусов и нашёл все самосопряженные.

Самосопряжённый конус — конус $V$ такой, что в объемлющем пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ можно найти положительно определённую квадратичную форму $H(x,\,y)$, удовлетворяющую двум следующим условиям:

• для всех $x,\,y\in V$ форма $H(x,\,y)>0$;
• при произвольном $x\notin {\bar {V}}$ найдётся такой $y\in V$, что $H(x,\,y)<0$, где ${\bar {V}}$ — замыкание конуса $V$.

Предложение 1. Самосопряженный конус обладает двумя свойствами: выпуклый; не содержит целой прямой.

Предложение 2. Существуют только четыре бесконечные серии неприводимых самосопряжённых аффинно однородных конусов типов I—IV и один неприводимый конус в 27-мерном пространстве. Этот конус можно реализовать с помощью эрмитовых матриц третьего порядка над числами Кэли.

Э. Винберг нашёл примеры аффинно однородных, несамосопряженных, выпуклых и не содержащих целой прямой конусов. Простейший — множество всех симметрических положительно определенных матриц $Y=(y_{ks})$, $y_{31}=y_{13}=0$, порядка 3.

Область Зигеля второго рода

Здесь будет определена область Зигеля 2-го рода и далее для таких исследованы проблемы, аналогичные рассмотренным для областей Зигеля 1-го рода.

Простейший пример область Зигеля второго рода

Простейший пример область Зигеля второго рода — это область в $\mathbb {C} ^{2}$

$\operatorname {Im} z-|u|^{2}>0$,

где $z$ и $u$ — числовые комплексные переменные.

Предложение 1. Эта область есть решение следующей задачи: отобразить шар в $\mathbb {C} ^{2}$

$|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1$

в некоторую область $D(V)\subset \mathbb {C} ^{2}$ таким образом, чтобы любое преобразование шара, для которого заданная точка на границе шара неподвижна, было линейным преобразованием $D(V)$.

Определение области Зигеля второго рода

Рассмотрим выпуклый конус $V\subset \mathbb {R} ^{n}$, которому не принадлежит никакая прямая, и функцию $F(u,\,v)\colon \mathbb {C} ^{m}\to \mathbb {C} ^{n}$, в общем случае $m\neq n$, и определим V-эрмитовые вектор-функции, обобщающие эрмитовы положительно определенные формы.

V-эрмитова вектор-функция — вектор-функция $F(u,\,v)$, для которой выполнены четыре условия:

• $F(u,\,v)={\overline {F(u,\,v)}};$
• $F(\lambda u_{1}+\mu u_{2},\,v)=\lambda F(u_{1},\,v)+\mu F(u_{2},\,v),$ $\lambda ,\,\mu$ — произвольные комплексные числа;
• $F(u,\,u)\in {\bar {V}},$ ${\bar {V}}$ — замыкание конуса $V$;
• $F(u,\,u)=0$ только при $u=0.$

Область Зигеля 2-го рода — множество всех точек $(z,\,u)\in \mathbb {C} ^{n+m}$, для которых выполняется следующее условие:

$\operatorname {Im} z-F(u,\,u)\in V$.

Предложение 1. Следующая область Зигеля 2-го рода в $\mathbb {C} ^{m+1}$

$\operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-|u_{2}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2}>0$,

где $z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}$ — числовые комплексные переменные, биголоморфно эквивалентна следующему шару:

$|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{m+1}|^{2}<1$.

Доказательство. Пусть

$z_{1}={\frac {z-i}{z+i}},\,z_{2}={\frac {2u_{1}}{z+i}},\,\dots ,\,z_{m+1}={\frac {2u_{m}}{z+i}}$,

тогда

$1-\sum _{k=1}^{m+1}|z_{k}|^{2}={\frac {4}{|z+i|^{2}}}(\operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2})>0$,

следовательно, предложение доказано. □

Отображение области Зигеля второго рода

Выше было показано, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение $n$ кругов. Докажем аналогичную теорему для произвольной области Зигеля 2-го рода.

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 2-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение $n$ шаров.

Доказательство

По условию конус $V$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус $V$ принадлежит следующему ортанту:

$y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,$

Отсюда получаем, что все компоненты $F_{k}(u,\,u),\,$ $k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\,$ суть неотрицательно определённые эрмитовы формы от $m$ переменных $u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}.$

Произвольная такая форма $F_{k}(u,\,u)$ может быть записана как некоторая сумма квадратов линейных форм:

$F_{k}(u,\,u)=|L_{k1}|^{2}+|L_{k2}|^{2}+\cdots +|L_{ks_{k}}|^{2}.$

Для доказательства теоремы сконструируем вектор-функции ${\tilde {F}}_{k}(u,\,u)$, обладающие следующими двумя свойствами:

• область $D(V)$ принадлежит области ${\widetilde {D}}(V)$, которая определяется следующими неравенствами:

$\operatorname {Im} z_{k}-{\tilde {F}}_{k}(u,\,u)>0,\quad$ $k=1,\,2,\,\dots ,\,n;$

• область ${\widetilde {D}}(V)$ биголоморфно эквивалентна произведению $n$ шаров.

1. Построение ${\tilde {F}}_{k}(u,\,u)$. Пусть ${\tilde {F}}_{1}(u,\,u)=F_{1}(u,\,u).$

Удалим из линейных форм $L_{21},\,L_{22},\,\dots ,\,L_{2s_{2}}$ формы, линейно выражающиеся через $L_{11},\,L_{12},\,\dots ,\,L_{1s_{1}}.$ Определим ${\tilde {F}}_{2}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{2s}|^{2},$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы.

Удалим из линейных форм $L_{31},\,L_{32},\,\dots ,\,L_{3s_{2}}$ формы, линейно выражающиеся через $L_{ks},\,$ $k=1,\,2.$ Определим ${\tilde {F}}_{3}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{3s}|^{2},$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы.

${\tilde {F}}_{4}(u,\,u)$ конструируются аналогично, и так далее. При этом $D(V)\subset {\widetilde {D}}(V)$.

2. Эквивалентность произведению $n$ шаров. Из того, что, по определению, $F(u,\,u)=0$ только при $u=0$, следует. что уравнения

$L_{ks}=0,\quad$ $k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\quad$ $s=1,\,2,\,\dots ,\,s_{k}$

обладают единственным решением $u=0$. Поэтому количество неудалённых линейных форм равно $m$, причём они линейно независимы по построению. Пусть эти $m$ форм будут новыми переменными

$u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}.$

В новых переменных

$z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n},\,u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}$

система неравенств, которой задаётся область ${\widetilde {D}}(V)$, имеют следующий вид:

$\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Im} z_{1}-|u'_{1}|^{2}-|u'_{2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{1}}|^{2}>0,\\\operatorname {Im} z_{2}-|u'_{m_{1}+1}|^{2}-|u'_{m_{1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{2}}|^{2}>0,\\\cdots \\\operatorname {Im} z_{n}-|u'_{m_{n-1}+1}|^{2}-|u'_{m_{n-1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m}|^{2}>0,\end{matrix}}\right.$

где $m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{n-1}$ — некоторые натуральные числа.

Наконец, остаётся принять во внимание, что любое из представленных неравенств определяет область Зигеля 2-го рода, биголоморфно эквивалентную шару.

Итак, произвольная область Зигеля 2-го рода биголоморфно эквивалентна ограниченной области в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n+m}$.

Остов области Зигеля второго рода

Остов области Зигеля 2-го рода — та часть границы $\partial D(V)$ области Зигеля 2-го рода $D(V)$, которая состоит из точек вида $(z,\,u)$, причём $\operatorname {Im} z=F(u,\,u)$. Заметим, что в отличие от области Зигеля 1-го рода вещественная размерность остова $3n$ больше комплексной размерности $2n$ всей области $D(V)$.

Следующая теорема об автоморфизме остова аналогична теореме для области Зигеля 1-го рода.

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 2-го рода $D(V)$ инвариантен, то есть переходит сам в себя, при любом голоморфном автоморфизме области $D(V)$, непрерывном в замыкании области ${\overline {D(V)}}$, причём при произвольном голоморфном автоморфизме области $D(V)$ точка на остове отображается либо в некоторую точку на остове, либо в бесконечность.

Доказательство. Доказательство теоремы основано на двух предложениях:

• любая голоморфная в замкнутой области ${\overline {D(V)}}$ функция, модуль которой имеет в ${\overline {D(V)}}$ максимум, имеет по крайней мере одну точку максимума модуля на остове;
• для любой точки остова всегда найдётся функция, модуль которой достигает в ней максимума. □

Линейное преобразование области Зигеля второго рода

Параллельный перенос области Зигеля 2-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими двумя преобразованиями:

${\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}$

где любые $a\in \mathbb {R} ^{n}$, $b\in \mathbb {C} ^{m}$.

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля второго рода есть нильпотентная группа класса 2 $G$, другими словами, её коммутант, то есть группа, порождённая элементами вида $g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}$, $g_{1},\,g_{2}\in G$, абелева.

Предложение 2. При параллельных переносах области Зигеля второго рода разность $\operatorname {Im} z-F(u,\,u)$ инвариантна. Любую точку $(z,\,u)\in D(V)$ параллельным переносом области Зигеля второго рода можно перевести в точку $(iy,\,0)$, где $y=\operatorname {Im} z-F(u,\,u)$.

Линейные преобразования области Зигеля 2-го рода не ограничиваются только параллельным переносом.

Теорема 1. Произвольное линейное преобразование области Зигеля 2-го рода задаётся следующими двумя преобразованиями:

${\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b,\end{cases}}$

где любые $a\in \mathbb {R} ^{n}$, $b\in \mathbb {C} ^{m}$, $A$ — линейное преобразование конуса на себя, $B$ — комплексное линейное преобразование, $AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)$ для любых $u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}$.

Доказательство

Рассмотрим следующее аффинное преобразование $D(V)$ на себя:

${\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q.\end{cases}}$

1. Доказательство $Q'_{1}=0$. Используем то, что при этом преобразовании остов инвариантен. Рассмотрим точку остова $(0,\,0)$. Её образ $(r,\,q)$ — тоже точка остова, следовательно,

$\operatorname {Im} r=F(q,\,q).$

Умножая аффинное преобразование на подходящее преобразование параллельного переноса, получаем новое преобразование

${\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}$

для которого $r=q=0$.

Точка остова $(x,\,0),$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$, отображается в точку $(R'_{1}x,\,Q'_{1}x),$ поэтому

$(\operatorname {Im} R'_{1})x=F(Q'_{1}x,\,Q'_{1}x)$

для произвольного $x$. Левая часть этого соотношения линейна по $x$, а правая имеет вторую степень от $x$, отсюда $\operatorname {Im} R'_{1},\,Q'_{1}=0.$

2. Доказательство $R'_{2}=0$. Точка остова $(iy,\,u),$ $y=F(u,\,u),$ отображается в точку $(iR'_{1}y+R'_{2}u,\,Q'_{2}u),$ сразу получаем

$R'_{1}y+\operatorname {Im} R'_{2}u=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).$

Заменим в этом равенстве переменную $u$ на $e^{i\varphi }u$, тогда

$R'_{1}y+\operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u=e^{i\varphi }e^{-i\varphi }F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u),$

то есть $\operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u$ не зависит от $\varphi$. Поэтому $R'_{2}u=0$, а по причине произвольности $u$ также и $R'_{2}=0$.

Итак, доказано, что

${\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}$

а значит, и

${\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q\end{cases}}$

имеет вид

${\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b.\end{cases}}$

Подставим в

$R'_{1}y=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u)$

равенство $y=F(u,\,u),$ получим:

$R'_{1}F(u,\,u)=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).$

Теорема доказана.

Пример однородной области Зигеля второго рода

Рассмотрим множество $\Omega$ всех линейных преобразований $A$ конуса $V$, которые продолжаются до линейных преобразований всей области Зигеля второго рода $D(V)$, другими словами, при некотором комплексном линейном преобразовании $B$ выполняется следующее равенство:

$AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)$.

Предложение 1. Область Зигеля второго рода $D(V)$ однородна, если соответствующее множество $\Omega$ линейных преобразований транзитивно действует на конусе $V$.

Пример. Приведём пример однородной области. Учтём, что область Зигеля второго рода однозначно определяется конусом $V$ и V-эрмитовой вектор-функцией $F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )$.

Рассмотрим конус $V$ эрмитовых положительно определённых матриц $\mathbf {Y}$ порядка $p$. Для простоты и удобства пространство определения V-эрмитовой вектор-функции $F$ реализуем (смоделируем) как пространство размерности $ps$ всех комплексных прямоугольных матриц $\mathbf {U}$ размера $p\times s$. Теперь функцию $F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )$ можно определить простой формулой

$F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )=\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}$,

то есть функция $F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )$ есть квадратная матрица порядка $p$, причём эрмитова матрица $F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} )\in {\bar {V}}$.

Предложение 2. Все аффинные преобразования конуса $V$ образуют группу $\Omega$ всех его линейных преобразований.

Доказательство. В построенном пространстве для его аффинных преобразований вида $\mathbf {U} \to \mathbf {B} \mathbf {U}$, где $B$ — произвольная невырожденная квадратная матрица порядка $p$, получаем:

$F(\mathbf {B} \mathbf {U} ,\,\mathbf {B} \mathbf {V} )=\mathbf {B} \mathbf {U} (\mathbf {B} \mathbf {V} )^{*}=\mathbf {B} \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}\mathbf {B} ^{*}=\mathbf {B} F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )\mathbf {B} ^{*}.$

Завершая доказательство, приведём вид всех аффинных преобразований конуса $V$:

$\mathbf {Y} \to \mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{*}$,

$AF(U,\,V)=F(BU,\,BV).$

Предложение 3. Построенная область симметрическая, а следовательно, однородная.

Доказательство. Инволюция

$(\mathbf {Z} ,\,\mathbf {U} )=(-\mathbf {Z} ^{-1},\,-i\mathbf {Z} ^{-1}\mathbf {U} )$

имеет единственную неподвижную точку $(-i\mathbf {E} ,\,\mathbf {0} )$.

Элемент объёма в области Зигеля второго рода

Найдём формулу инвариантного элемента объёма $dv$ в области Зигеля 2-го рода $D(V)$. Пусть

$dv=\lambda (x,\,y,\,u_{1},\,u_{2})dxdydu_{1}du_{2},$

где

$dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$, $\quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}$,

$u_{1}=\operatorname {Re} u$, $\quad u_{2}=\operatorname {Im} u$, $\quad du_{1}$ и $du_{2}$ обозначают произведения соответствующих дифференциалов координат.

Поскольку область Зигеля 2-го рода $D(V)$ имеет автоморфизмы вида

${\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}$

то имеем следующее равенство:

$\lambda =\lambda (\mathbf {y} -F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} ))$.

Кроме того, если у области Зигеля 2-го рода $D(V)$ имеется голоморфный автоморфизм

$\mathbf {z} \to \mathbf {Az}$, $\quad \mathbf {u} \to \mathbf {Bu}$,

то тогда получаем:

$\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}(\det \mathbf {B} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )$.

Отсюда для аффинной однородной области Зигеля 2-го рода $D(V)$ определяется коэффициент $\lambda (\mathbf {y} )$ с точностью до числового множителя.

Область Зигеля третьего рода

Здесь будет определена область Зигеля 3-го рода и исследованы некоторые её свойства. Такие области были созданы по той причине, что в $n$-мерном комплексном пространстве граница области неоднородна, то есть состоит из аналитические «кусочков» разных размерностей.

В теории автоморфных функций от нескольких комплексных переменных большое значение имеет предельный переход такой, что точка внутри области стремится к граничной точке, которая лежит на некотором аналитическом «кусочке». Области Зигеля 3-го рода применяются при исследовании такого предельного перехода.

Полуэрмитова форма

Пусть дана скалярная форма, то есть форма, принимающая числовые значения, $L(u,\,v)$ от пары векторов $u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{m}$.

Полуэрмитова, или скалярная полуэрмитова, форма — скалярная форма $L(u,\,v)$, которая представляется в виде

$L_{0}(u,\,v)+L_{1}(u,\,v),$

где $L_{0}(u,\,v)$ — эрмитова форма, $L_{1}(u,\,v)$ — симметричная билинейная форма.

Предложение 1. Полуэрмитова форма $L(u,\,v)$ имеет следующие свойства:

• $L(u,\,v)$ по первому аргументу комплексно линейна, по второму — вещественно линейна;
• разность $L(u,\,v)-L(v,\,u)$ чисто мнимая.

Справедливо обратное утверждение.

Теорема 1. Форма с указанными в предложении 1 свойствами полуэрмитова.

Доказательство

Из линейности формы следует, что

$L(u,\,v)=\sum _{k,\,r=1}^{m}a_{kr}u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r},$

тогда

$L(u,\,v)-L(v,\,u)=\sum _{k,\,r=1}^{m}(a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}v_{k}{\bar {u}}_{r},$

и если приравнять нулю все переменные, кроме конкретных $u_{k}$ и $v_{r}$, то получим чисто мнимое число

$(a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-b_{rk}v_{r}{\bar {u}}_{k},$

следовательно,

$a_{kr}-a_{rk}\quad$ и $\quad b_{kr}={\bar {b}}_{rk}$.

Предложение 2. Представление полуэрмитовой формы как суммы эрмитовой и симметричной билинейной формы единстванно.

Векторная полуэрмитова форма — векторная форма, каждая компонента которой есть скалярная полуэрмитова форма.

Невырожденная полуэрмитова форма — полуэрмитова форма $L(u,\,v)$, обладающая следующим свойством: если при всех $u$ имеет место равенство $L(u,\,v_{0})=0$, то $v_{0}=0$.

Определение области Зигеля третьего рода

Пусть ${\mathcal {D}}$ — ограниченная область в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{k}(t)$, и любому $t\in {\mathcal {D}}$ поставлена в соответствие невырожденная полуэрмитова форма $L_{t}(u,\,v)$ на $\mathbb {C} ^{m}$ со значениями в $\mathbb {C} ^{n}$, а $V$, как и в случае области Зигеля 1-го рода, — открытый выпуклый конус в вещественном $n$-мерном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, причём пересечение конуса $V$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая.

Область Зигеля 3-го рода — множество $D(V,\,{\mathcal {D}})$ всех точек $w=(z,\,u,\,t)\in \mathbb {C} ^{N}$, $N=n+m+t$, для которых выполняется следующие два условия:

• $\operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u)\in V,$ $\quad t\in {\mathcal {D}},$
• множество $D(V,\,{\mathcal {D}})$ биголоморфно эквивалентно некоторой ограниченной области.

Пример 1. Простейший нетривиальный пример области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ состоит в следующем. Положим $m=n=k=1$, ограниченная область ${\mathcal {D}}$ — единичный круг $|t|<1$ на комплексной плоскости $\mathbb {C} (x,\,y)$, конус $V$ — полупрямая $y>0$, и пусть невырожденная полуэрмитова форма определена следующим образом:

$L_{t}(u,\,v)=(1-|t|^{2})^{-1}u{\bar {v}}+{\bar {t}}(1-|t|^{2})^{-1}uv.$

Так определённая область $D(V,\,{\mathcal {D}})$ биголоморфно эквивалентна некоторой классической области типа III.

Согласованные вектор-функции

Предложение 1. Произвольную область Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ можно преобразовывать следующим образом:

$z\to z+a$, $\quad u\to u$, $\quad t\to t$,

где $a\in \mathbb {R} ^{n}$ — любое.

Биголоморфная вектор-функция $c(t)$ в ${\mathcal {D}}$ со значениями в $\mathbb {C} ^{m}$ согласована с формой $L_{t}(u,\,v)$, когда форма $L_{t}(u,\,c(t))$ есть биголоморфная функция от $t\in {\mathcal {D}}$ при произвольном $u$.

Предложение 2. Множество всех согласованных с заданной формой $L_{t}(u,\,v)$ вектор-функций есть линейное пространство над полем вещественных чисел.

Пример 1. Продолжим пример 1 из предыдущкго раздела. Положим $c(t)=c-t{\bar {c}}$, где $c\in \mathbb {C}$. Получим:

$L_{t}(u,\,c(t))=u{\bar {c}}.$

Пример демонстрирует, что если биголоморфная вектор-функция $c(t)$ согласована с формой $L_{t}(u,\,v)$, то функция $c_{1}(t)=ic(t)$ в общем случае не согласована.

Значение и роль описанных выше согласованных вектор-функций определяются следующей теоремой.

Теорема 1. Рассмотрим не обязательно биголоморфную вектор-функцию $c(t)$ на ${\mathcal {D}}$ со значениями в $\mathbb {C} ^{m}$. Для этой вектор-функции следующее преобразование

${\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}$

где $a\in \mathbb {R} ^{n}$ — любой вектор, есть:

• биекция области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ на себя;
• биголоморфное отображение тогда и только тогда, когда функции $c(t)$ и $L_{t}(u,\,c(t))$ биголоморфны от $t\in {\mathcal {D}}$ для произвольного $u$.

Доказательство

1. Биекция. Данное в условии теоремы преобразование сохраняет разность $\operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u),$ то есть переводит область $D(V,\,{\mathcal {D}})$ в себя. Взаимная однозначность следует из существования обратного преобразования, получаемое заменой $c(t)$ на $-c(t)$.

2. Биголоморфное отображение. Если данное в условии теоремы преобразование биголоморфно, то и $c(t)$ и $L_{t}(u,\,c(t))$ биголоморфны как функции от $t\in {\mathcal {D}}$ для произвольного $u$.

Обратно. Пусть $c(t)$ и $L_{t}(u,\,c(t))$ биголоморфны как функции от $t\in {\mathcal {D}}$ для произвольного $u$. Достаточно доказать, что функция $L_{t}(c(t),\,c(t))$ биголоморфна. Функция $L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))$, где векторы $c_{1},\,c_{2}$ фиксированы, голоморфна от $t_{1}$ при фиксированном $t_{2}$, и наоборот. Отсюда по теореме Хартогса функция $L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))$ биголоморфна от $t_{1}$ и $t_{2}$. При $t_{1}=t_{2}$ функция $L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))$ биголоморфна от $t$.

Предложение 3. Рассмотрим биголоморфную в ${\mathcal {D}}$ вектор-функцию $c(t)$, согласованную с формой $L_{t}(u,\,v)$. Из свойства 4 вытекает, что для произвольного $t\in {\mathcal {D}}$ если $c(t_{0})=0$, то $c(t)=0$.

Доказательство. Рассмотрим преобразование

${\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}$

где $c(t)$ — данная вектор-функция и $a=0$. Из свойства 4 вытекает, что это преобразование тривиально, то есть $c(t)\equiv 0$.

Из этого доказательства также следует, что размерность $\mu$ линейного пространства вектор-функций $c(t)$, согласованных с формой $L_{t}(u,\,v)$ и биголоморфных в ${\mathcal {D}}$, не больше $2m$. В дальнейшем в этой статье всегда $\mu =2m$.

Параллельный перенос области Зигеля третьего рода

Параллельный перенос области Зигеля 3-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими тремя преобразованиями:

${\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}$

где $a\in \mathbb {R} ^{n}$ — любой вектор.

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля 3-го рода составляет группу $\Delta$. Как и в случае областей Зигеля 2-го рода, группа $\Delta$ есть нильпотентная группа класса 2. Группу $\Delta$ можно представить в виде множества пар $(c,\,a)$, где $a\in \mathbb {R} ^{n}$, $c\in \mathbb {R} ^{\mu }$, а $\mu$ — размерность пространства всех вектор-функций, согласованных с данной формой $L_{t}(u,\,v)$.

Форма

$Q(c_{1},\,c_{2})=i(L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))-L_{t}(c_{2}(t),\,c_{1}(t)))$

для произвольных фиксированных $c_{1}(t)$ и $c_{2}(t)$ биголоморфна по $t$ и всегда вещественна, так как разность $L(u,\,v)-L(v,\,u)$ чисто мнимая, и поэтому форма $Q(c_{1},\,c_{2})$ не зависит от $t$.

Предложение 2. Формула

$(c_{1},\,a_{1})\times (c_{2},\,a_{2})=(c_{1}+c_{2},\,a_{1}+a_{2}+Q(c_{1},\,c_{2}))$

задаёт закон композиции группы $\Delta$.

Предложение 3. Из свойства 5 следует, что группа $\Delta$ — нормальный делитель в группе всех квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода.

Квазилинейное преобразование области Зигеля третьего рода

Исследования областей Зигеля 1-го и 2-го рода основаны в том числе на группе их линейных преобразований. Но для областей Зигеля 3-го рода линейные преобразования заменяются на квазилинейные.

Квазилинейное преобразование области Зигеля 3-го рода — биекция области Зигеля $D(V,\,{\mathcal {D}})$ вида

${\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\\\end{cases}}$

где $A(t)$ и $B(t)$ — биголоморфные в области ${\mathcal {D}}$ матричные функции, $a(u,\,t)$ и $b(t)$ — биголоморфные в области ${\mathcal {D}}$ векторные функции, $t\to g(t)$ — голоморфный автоморфизм области ${\mathcal {D}}$.

Приведём два общих свойства голоморфных автоморфизмов ограниченных областей, которые понадобятся при рассмотрении квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$:

(A) голоморфный автоморфизм ограниченной области, имеющей неподвижную точку, полностью определён матрицей Якоби в этой точке (используется при доказательстве свойства 5);

(B) последовательность голоморфных автоморфизмов ограниченной области компактна (то есть имеется подпоследовательность, сходящаяся в области) при наличии хотя бы одной точки, последовательность образов которой компактна в этой области (используется при доказательстве свойства 2 и свойства 4).

Рассмотрим следующий голоморфный автоморфизм $\varphi _{\lambda }$ области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$:

$z\to \lambda ^{2}z$, $\quad u\to \lambda u$, $\quad t\to t$,

где $\lambda \in R$ — любое. Наличие семейства голоморфных автоморфизмов вида $\varphi _{\lambda }$ закономерно для областей Зигеля 3-го рода.

Свойства квазилинейных преобразований области Зигеля третьего рода

Свойство 1. У любого квазилинейного преобразования

${\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}$

области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ матрица $A(t)$ не зависит от $t$. Линейное преобразование $y\to Ay$ есть биекция конуса $V$ на себя.

Доказательство

При данном преобразовании точка $(z,\,0,\,t)\in D(V,\,{\mathcal {D}})$ отображается в точку $(A(t)z+a(0,\,t),\,b(t),\,g(t))$, и если эта точка лежит в области $D(V,\,{\mathcal {D}})$, то

$\operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V$

для произвольного $t\in {\mathcal {D}}$.

Исходная точка $(z,\,0,\,t)$ принадлежит области $D(V,\,{\mathcal {D}})$ тогда и только тогда, когда $y=\operatorname {Im} z\in V$, поэтому с ней принадлежит $D(V,\,{\mathcal {D}})$ также и точка $(\lambda z,\,0,\,t)$, где $\lambda \in \mathbb {R}$, $\lambda >0$ — любое.

Подставим в

$\operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V$

вместо $z$ переменную $\lambda z$ и перейдём к пределу при $\lambda \to \infty$, получим для произвольного $t\in {\mathcal {D}}$:

$\operatorname {Im} (A(t)z)\in {\bar {V}}$, если $\operatorname {Im} z\in V$,

где ${\bar {V}}$ — замыкание конуса $V$. Следовательно, матрица $A(t)$ вещественная при произвольном $t$ и не зависит от $t$, поскольку биголоморфная функция только с вещественными значениями постоянна.

Доказательство заканчивается изучением обратного преобразования.

Свойство 2. Любая компонента вектора : $a(u,\,t)$ есть многочлен от $u$ не выше степени 2 с коэффициентами, которые могут зависеть от $t$.

Доказательство

Рассмотрим квазилинейное преобразование $\psi$ вида

${\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}$

Сконструируем семейство автоморфизмов $\psi _{\lambda }=\psi _{\lambda }^{-1}\varphi \psi _{\lambda }$, которое имеет следующий вид:

${\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}$

Можно доказать, что последовательность голоморфных автоморфизмов $\psi _{\lambda }$ компактна при $\lambda \to \infty$, рассматривая автоморфизм $\psi _{\lambda }$ в точке $(z,\,0,\,t)$. Из вида автоморфизмов $\psi _{\lambda }$ следует, что их последовательность компактна тогда и только тогда, когда $a(u,\,t)$ есть многочлен от $u$ не выше степени 2.

Свойство 3. Наряду с квазилинейным преобразованием

${\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}$

следующее преобразование

${\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t)\end{cases}}$

есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$, где $a_{2}(u,\,t)$ — множество членов степени 2 в многочлене $a(u,\,t)$.

Доказательство

При доказательстве свойства 2 показано, что последовательность автоморфизмов

${\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t)\end{cases}}$

компактна при $\lambda \to \infty$, а из формы записи этой последовательности автоморфизмов следует, что они сходятся при $\lambda \to \infty$ к преобразованию

${\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\end{cases}}$

Свойство 4. Рассмотрим точку $t_{0}\in {\mathcal {D}}$. Пусть $\operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0$ и $b(t_{0})=0$, тогда $a(u,\,t)$ включает по $u$ только члены степени 2.

Доказательство

$(z,\,0,\,t_{0})\in D(V,\,{\mathcal {D}})$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Im} z\in V$. Поэтому если $y\in V$, то $y+\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in V$, следовательно, $\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}$. Оперируя с обратным преобразованием, можно показать, что также и $-\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}$. Поскольку конус $V$ лежит в положительном ортанте

$y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,$

то $\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})=0$, и $a(0,\,t_{0})=0$.

Итак, получается что последовательность голоморфных автоморфизмов

${\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}$

компактна при $\lambda \to \infty$, так как последовательность образов точки вида $(z,\,0,\,t_{0})$ компактна. Но компактность последовательности таких автоморфизмов при $\lambda \to \infty$ осуществима только тогда, тогда $a(u,\,t)$ не имеет по $u$ членов степени 0 и 1.

Свойство 5. Квазилинейное преобразование при $A=E$, $B(t)\equiv E$, $g(t)\equiv t$ есть параллельный перенос области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$, другими словами, это преобразование состоит в группе $\Delta$.

Доказательство

Достаточно показать, что если при некотором $t_{0}\in {\mathcal {D}}$ для квазилинейного преобразования области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$

${\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}$

$\operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0$ и $b(t_{0})=0$, то оно тождественно.

$a(0,\,t_{0})=0$ вытекает из свойства 4, поэтому имеем неподвижную точку $(z,\,0,\,t_{0})$ для предложенного преобразования. Также из свойства 4 вытекает, что матрица Якоби предложенного преобразования в точке вида $(z,\,0,\,t_{0})$ совпадает с матрицей Якоби тождественного преобразования. Отсюда заключаем, что предложенное преобразование области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$

${\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}$ —

тождественное, другими словами,

$a(u,\,t)\equiv 0$, $\quad b(t)\equiv 0$.

Свойство 6. Рассмотрим преобразование

${\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}$

где $a_{2}(u,\,t)$ — однородная форма степени 2 по $u$. Это преобразование есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ тогда и только тогда, когда

$L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)$

для произвольных $u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}$, $t\in {\mathcal {D}}$, причём $a_{2}(u,\,t)\equiv 0$.

Доказательство

Трансформируя следующее исходное преобразование

${\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}$

где $a\in \mathbb {R} ^{n}$ — любой вектор, при помощи данного в условии преобразования

${\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}$

получим новое преобразование, которое сохраняет вид исходного согласно свойству 5, следовательно,

$L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v).$

Обратно, из последнего равенства непосредственно вытекает, что преобразование

${\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}$

есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$.

Наконец, композиция преобразования

${\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}$

и преобразования. обратного к

${\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}$

есть автоморфизм из группы $\Delta$, значит, $a_{2}(u,\,t)\equiv 0$.

Аналитическая однородность области Зигеля третьего рода

Рассмотрим несколько достаточных условий аналитической однородности области Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$.

Пусть $\Omega$ — множество всех линейных преобразований $y\to Ay$ конуса $V$ на себя, таких, что каждое имеет биголоморфную в области ${\mathcal {D}}$ матричную функцию $B(t)$, что

$L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)$

для произвольных $u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}$, $t\in {\mathcal {D}}$.

И пусть $G$ — множество всех голоморфных автоморфизмов $g(t)$ области ${\mathcal {D}}$, таких, что каждое имеет:

• биголоморфную в ${\mathcal {D}}$ матричную функцию $B(t)$;
• симметричную билинейную векторную форму $K_{t}(u,\,v)$ от пары векторов $u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}$ со значениями в $\mathbb {C} ^{n}$, аналитически зависящую от $t\in {\mathcal {D}}$, причём выражение

$K_{t}(u,\,u)+L_{g(t)}(B(t)u,\,B(t)u)-L_{t}(u,\,u)$

чисто мнимое для произвольных $u\in \mathbb {C} ^{m}$, $t\in {\mathcal {D}}$.

Теорема 1. Область Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$ аналитически однородна при двух условиях:

• группа $\Omega$ транзитивна в конусе $V$;
• группа $G$ транзитивна в области ${\mathcal {D}}$.

Доказательство

Непосредственно устанавливается, что следующие два преобразования суть голоморфные автоморфизмы область Зигеля 3-го рода $D(V,\,{\mathcal {D}})$:

${\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\\\end{cases}}$

${\begin{cases}z\to z-iK_{t}(u,\,u),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\\\end{cases}}$

Литература

• Винберг Э. Б. Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Левин Б. Я. Распределение корней целых функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с., ил.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Фукс Б. А.. Теория аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 2. — 427 с. — 8500 экз.
• Jacques Faraut, Soji Kaneyuki, Ádám Korányi, Qi-keng Lu, Guy Roos. Analysis and geometry on complex homogeneous domains (англ.). — New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2000. — XII+540 p. — (Progress in mathematics (Boston, Mass.); v. 185). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook). — doi:10.1007/978-1-4612-1366-6.
• Soji Kaneyuki. Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains (англ.) / adviser: E. Vesentini. — Berlin · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1971. — V+89 p. — (Scuola Normale Supenore, Plsa). — ISBN 3-540-05702-1. — ISBN 0-387-05702-1.
• Siegel C. L. Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1939. — Bd. 116. — P. 617—657.
• Nikolaj Tschebotareff. Über die Realität Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1928. — Bd. 99. — P. 660—656.