Формальный степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия[править | править код]

Алгебраические операции[править | править код]

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (), умножения (), формального дифференцирования () и композиции () следующим образом. Пусть:

Тогда:

;
;
;
(при этом необходимо, чтобы ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом сами образуют кольцо, обозначаемое .

Метрика и топология[править | править код]

В кольце также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

где k наименьшее натуральное число такое, что .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы[править | править код]

Формальный ряд

в R[[X]] является обратимым тогда и только тогда, когда a0 является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда определяются по формуле:

Свойства[править | править код]

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]