Формальный степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике.

Алгебраические операции[править | править вики-текст]

В можно следующим образом определить сложение, умножение, формальное дифференцирование и формальную суперпозицию. Пусть:

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы )

Таким образом, формальные степенные ряды образуют кольцо.

Топология[править | править вики-текст]

Во множестве также можно задать топологию, что порождается следующей метрикой:

где k наименьшее натуральное число такое, что akbk;

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы[править | править вики-текст]

Формальный ряд:

в R[[X]] является обратимым в R[[X]] тогда и только тогда, когда a0 является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен , и достаточным, поскольку коэффициенты тогда определяются по формуле:

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]