Группа крашеных кос

Центральная коса является крашеной

Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от англ. pure braid group) — группа, образованная для заданного $n$ всеми крашеными косами из $n$ нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос $B_{n}$ и обозначается символом $P_{n}$.

Определение

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Произведение кос

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение $\alpha \beta$ двух крашеных кос $\alpha$ и $\beta$ с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество $P_{n}$ всех крашеных кос из $n$ нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос.

Траектории движения точек на плоскости

Основная статья: Конфигурационное пространство § Роль в теории кос

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ упорядоченных наборов $n$ различных точек евклидовой плоскости:

$P_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))$.

Автоморфизмы свободной группы

Основная статья: Группа автоморфизмов свободной группы § Роль в теории кос

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с $n$ проколами:

$P_{n}\cong {\rm {PMCG}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})$.

Задание образующими и соотношениями

Диаграммы образующих $A_{i,j}$ группы крашеных кос

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких $i$ и $j$, что $1\leq i<j\leq n$, пусть

$A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1}$.

Данные $n(n-1)/2$ кос порождают группу крашеных кос $P_{n}$. Они называются стандартными образующими или образующими Маркова.

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями:

$A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s}={\begin{cases}A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s},&s<i\ {\text{ или }}\ i<r<s<j;\\A_{r,j}A_{i,j}A_{r,j}^{-1},&s=i;\\A_{r,j}A_{s,j}A_{i,j}A_{s,j}^{-1}A_{r,j}^{-1},&i=r<s<j,\\{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}A_{i,j}{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}^{-1},&r<i<s<j,\end{cases}}$

где $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ — коммутатор элементов $x$ и $y$.

Причёсанная нормальная форма

Причёсанный вид косы

Представление крашеной косы $\beta \in P_{n}$ в виде

$\beta =\beta _{n}\beta _{n-1}\ldots \beta _{2}$

называется её причёсанным видом, если каждая коса $\beta _{k}$ имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме $k$-ой, являются прямыми, а $k$-ая зацепляется только за нити с меньшими номерами.

Запись косы $\beta$, в которой каждая коса $\beta _{k}$ представлена в виде несократимого слова в образующих $A_{1,k},A_{2,k},\ldots ,A_{k-1,k}$, называется её причёсанной нормальной формой:

$\beta =(A_{i_{1},n}^{e_{1}}A_{i_{2},n}^{e_{2}}\ldots A_{i_{k},n}^{e_{k}})\cdot (A_{j_{1},n-1}^{r_{1}}A_{j_{2},n-1}^{r_{2}}\ldots A_{j_{m},n-1}^{r_{m}})\cdot \ldots \cdot A_{1,2}^{s}.$

См. также

• Группа кос
• Теория кос

Литература

• Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
• Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.). — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.

Ссылки

• Малютин, А. В.. Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, вып. 2. — С. 113—135.