Обсуждение:Натуральный логарифм

Натуральный логарифм значений, больших 1, через ряд Тейлора

Не совсем уверена в необходимости подсчитывать через x/(x-1). На мой взгляд, при $x>1$ гораздо проще перейти к значению от 0 до 1 при помощи преобразования $\ln {x}=-\ln {\frac {1}{x}}$. Азалия Смарагдова (обс.) 15:48, 19 апреля 2017 (UTC)

• Собственно, я тоже не вижу такой необходимости. Вообще, не особо вчитывался, но нынешний текст в своей основе — почти наверняка перевод с английского (что заметно по многим признакам). Качество подобного перевода, увы, под вопросом. С уважением, NN21 (обс.) 17:10, 19 апреля 2017 (UTC)
• А вот если немного подумать, то станет ясно, что при больших иксах формула $\ln {x}=-\ln {\frac {1}{x}}$ помогает мало, поскольку обратная величина, ${\frac {1}{x}}$, будет близка к нулю. Поскольку логарифм раскладывается по Тейлору не в нуле, а в единице, сходимость ряда будет очень медленной. С уважением, NN21 (обс.) 20:23, 19 апреля 2017 (UTC)

Грубая ошибка при разложении в ряд Тейлора

В статье сейчас сказано, что нижеприведенная формула, разложения в ряд Тейлора, справедлива для любого x. Это не так, что легко проверить, взяв любое значение x больше 1.

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$

Причина данной грубой ошибки заключается в том, что пропущена подстановка, $f={\frac {x}{x+2}}$.

Тогда имеем:

$\ln \left({1+x}\right)=\ln \left({\frac {1+f}{1-f}}\right)=2\left(f+{\frac {f^{3}}{3}}+{\frac {f^{5}}{5}}+{\frac {f^{7}}{7}}+\dots \right)$,

Формулу выше теперь действительно можно обобщить для любых целых положительных значений x, для которых определён логарифм.

• Поправьте сами. MBH 12:18, 18 сентября 2020 (UTC)

Никакой ошибки тут нет. В статье не сказано, что «формула разложения в ряд Тейлора справедлива для любого x». Сказано совершенно другое: «левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа». То есть имеется в виду указанная вами элементарная подстановка, которая позволяет слева под логарифмом получить произвольное положительное число. То же самое сказано в Истории математики Юшкевича, том 2, стр. 162:.

В том же 1668 г. Грегори в «Геометрических этюдах» предложил вывод ряда Меркатора в античной манере и разложение

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$,

пригодное для вычисления логарифма любого положительного числа z = — (1 + х)/(1 — х), ибо тогда х = (z — l)/(z + 1) по абсолютной величине меньше единицы.

Во избежание дальнейших недоразумений я внёс фразу из Юшкевича в текст статьи. Leonid G. Bunich / обс. 12:24, 18 сентября 2020 (UTC)

То есть имеется в виду указанная вами элементарная подстановка которая позволяет слева под логарифмом получить произвольное положительное число.

И тем не менее, без явного уточнения этой детали, исходная формулировка может запутать новичков и вызвать недоумение при беглом чтении, что и произошло в моём случае.

Twizzell (обс.) 13:08, 18 сентября 2020 (UTC)

Leonid G. Bunich / обс., т.е. подстановка неявно подразумевается, но в этом разделе статьи используется только одна переменная x, что вводит в заблуждение.

Пусть негрубая, но все же ошибка. Спасибо за оперативное устранение. Twizzell (обс.) 13:46, 18 сентября 2020 (UTC)

Сделал аналогичное пояснение в статьях Логарифм и Ряд Меркатора. Leonid G. Bunich / обс. 14:12, 18 сентября 2020 (UTC)

Leonid G. Bunich, Благодарю! Twizzell (обс.) 14:25, 18 сентября 2020 (UTC)

Пожалуйста, не забывайте подписывать свои реплики: ~~~~. Leonid G. Bunich / обс. 14:49, 18 сентября 2020 (UTC)

Хорошо. Twizzell (обс.) 15:07, 18 сентября 2020 (UTC)