Обсуждение:Предельная точка

Лемма о предельной точке

Любое бесконечное ограниченное множество на прямой содержит хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Поскольку множество (назовём его X) ограничено, то существует отрезок [a, b], включающий X. Предположим, что ни одна точка этого отрезка не является предельной для X. Тогда окрестностями (при некоторых δ) всех точек X можно покрыть весь отрезок. Значит, по принципу Бореля-Лебега, из множества этих окрестностей (коих бесконечное число, так как во множестве X по условию число элементов бесконечно) можно выделить конечное подпокрытие [a; b] какими-то окрестностями U(x₁), U(x₂), …, U(x_n). В каждой из этих окрестностей по условию конечное число элементов, всего окрестностей также конечное число, значит, всего в X конечное число элементов, что противоречит условию. Стало быть, у X действительно есть предельная точка.

Как я понимаю множество точек $\left\{{\frac {1}{n}}\right\},n\in \mathbb {N}$ ограниченно и бесконечно, но не содержит предельных точек. В чём ботва? Сорокин 02:43, 11 января 2007 (UTC)

Убрал пока из статьи эту теорему. Сорокин 04:19, 11 января 2007 (UTC)

В формулировке теоремы ошибка: множество всегда имеет предельную точку (данное множество имеет пред. точку x=0), однако не обязано её содержать.

Переместил обратно, поменяв формулировку. infovarius 10:14, 20 сентября 2007 (UTC)

Доказательство неявно подразумевает, что если предельная точка существует, то она должна принадлежать отрезку. Это следует из свойств замыкания и замкнутости отрезка, но это надо писать. ПБХ 15:28, 20 сентября 2007 (UTC)

Убрано свойство

"Если $x\in X$ — предельная точка $A$, то существует последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset A$ целиком лежащая в $A$ такая, что $x_{n}\to x$ при $n\to \infty$"

верно только в пространствах Фреше - Урысона (это фактически определение таких пространств).

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

Определение пространств Фреше - Урысона сформулировано в этой книге перед теоремой 1.6.14. Someone 11:55, 17 апреля 2008 (UTC)

Ничего себе... Вы рушите мои слабые представления о матанализе :) Всегда вроде это свойство бралось за одно из эквивалентных определений... Если серьёзно - опишите подробнее про эти пространства. infovarius 20:21, 17 апреля 2008 (UTC)

Критерий замкнутости

Нет ли ошибки в утверждении ${\overline {A}}=A\cup A'$? Разве замкнутое множество не должно содержать все свои точки прикосновения? 91.122.14.168 08:41, 5 июня 2015 (UTC)

Оформление

Хорошо бы явно указать смысл символа (оператора?) $'$ (см. например $(a,b)'=[a,b]$). --91.76.192.143 20:49, 1 мая 2017 (UTC)

• Виноват, проглядел. --91.76.192.143 21:29, 1 мая 2017 (UTC)