Предельная точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преде́льная то́чка (точка накопления) множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точек[править | править вики-текст]

Точка называется предельной точкой подмножества в топологическом пространстве , если всякая проколотая окрестность точки имеет с непустое пересечение.

Точка называется строго предельной точкой подмножества , если всякая окрестность точки имеет с бесконечное число общих точек. Для T1-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты) понятия предельная точка и строго предельная точка равносильны.

Точка называется точкой конденсации подмножества , если всякая окрестность точки содержит несчетное множество точек .

Точка называется точкой полного накопления подмножества , если для всякой окрестности точки мощность пересечения равна мощности множества .

Связанные понятия и свойства[править | править вики-текст]

  • Все точки множества делятся на два вида: предельные и изолированные точки. Изолированной называется такая точка x, у которой есть окрестность, не имеющая с других общих точек, кроме . Подмножество в , состоящее из одной этой точки, является открытым в индуцированной топологии).
  • Совокупность всех предельных точек множества называется его произво́дным мно́жеством и обозначается . Все предельные точки множества входят в его замыкание . Более того, справедливо равенство: , из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
  • Если — предельная точкой множества , то существует направление точек из , сходящееся к .
  • В метрических пространствах, если — предельная точка множества , то существует последовательность точек из сходящаяся к . Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в .
  • Топологическое пространство счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в . Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.
(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

Примеры[править | править вики-текст]

  • Рассмотрим множество вещественных чисел со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
    • где — множество рациональных чисел;
    • где — множество целых чисел;
  • Пусть первый несчётный ординал. Рассмотрим — ординал с порядковой топологией. Точка является предельной точкой множества , однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к .

Предельная точка числового множества[править | править вики-текст]

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества , если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой .[1]

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Свойства[править | править вики-текст]

  • У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел и , то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.
  • Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка числовой последовательности[править | править вики-текст]

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.[1]

— предельная точка последовательности

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «» и «». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «» является её предельной точкой.[1] При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.
    — предельная точка последовательности
    Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.
  • Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.
    — предельные точки последовательности
  • Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.
    — предельная точка последовательности
  • Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
  • У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Примеры[править | править вики-текст]

  • У последовательности из единиц существует единственная предельная точка 1.
  • У последовательности существует единственная предельная точка 0.
  • У последовательности натуральных чисел нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка ).
  • У последовательности существуют две предельные точки: -1 и +1.
  • У последовательности из всех рациональных чисел , занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Предельная точка направления[править | править вики-текст]

Пусть направление элементов топологического пространства . Тогда называется предельной точкой направления, если для любой окрестности точки и для любого найдется индекс такой что и

Свойства[править | править вики-текст]

  • Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
    • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
    • Если каждая точка топологического пространства обладает счетной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть — направлено по возрастанию. У направления существует единственная предельная точка в топологическом пространстве .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]