Обсуждение:Соединение пяти октаэдров

Соединение пяти октаэдров

При изготовлении модели этого многогранника в соответствии с инструкцией, приведенной в книге М. Веннинджера "Модели многогранников", выяснилось, что при самом тщательном выполнении этой инструкции модель не может быть изготовлена. До этого я успешно изготовил 22 модель многогранников по инструкциям из этой книги, а на 23-й модели произошла осечка. Я был очень удивлен и внимательно проанализировал этот многогранник. В инструкции по предлагается изготавливать его из 30 заготовок имеющих форму пирамид, с ромбическим основанием с попарно равными сторонами. Эти соединяемые заготовки не имеют симметрии относительно оси октаэдра. В каждой вершине сходятся четыре ребра, которые только попарно равны между собой, и углы в месте соединения граней попарно равны 60 и 70 градусам. При вершине же октаэдра соединяются четыре грани с углами 60 градусов. Это явное несоответствие.

Для того, чтобы устранить возникшее противоречие, я решил соединить между собой пирамиды с четырьмя углами при вершине 60 градусов и равными ребрами. Но при этом также встретилось противоречие. Использованные мной заготовки являются равнобедренными пирамидами с квадратным основанием.

Рассмотрим одну из треугольных граней соединяемых октаэдров. В инструкции М. Веннинджера при каждой из вершин отсекается разносторонний треугольник с углами 59,97; 44,45 и 75,55 градусов. Оставшаяся часть является шестиугольником, в котором могут быть размещены три заготовки с ромбическим основанием. Но, как уже было сказано, эти заготовки не являются вершинами октаэдра.

При соединении правильных пирамид на каждой треугольной грани соединяемых октаэдров отсекаются равносторонние треугольники, оставшаяся является правильным шестиугольником. Но в этом шестиугольнике не могут быть размещены три пирамиды с квадратным основанием.

Таким образом, устранив одно противоречие с несоответствием углов, приходим к другому противоречию с невозможностью вписать три квадрата в шестиугольник.

Поэтому я сделал вывод, что соединение пяти октаэдров не существует в трехмерном пространстве. Все статьи с его характеристиками, в том числе в Википедии, и все инструкции по его изготовлению, приведенными в монографиях и на различных сайтах в интернете, являются либо ошибкой, либо мистификацией.

Некоторым подтверждением моего вывода является выдержка из статьи "Соединение 5-ти октаэдров" на сайте Многогранники.ru: " Этот цирковой еж мечтает стать диско шаром. В цветных углах многогранника прячется шутка, фокус и невероятные человеческие возможности".

Sroelov (обс.) 09:29, 11 июля 2024 (UTC)

• Использованные мной заготовки являются равнобедренными пирамидами с квадратным основанием.

  приходим к другому противоречию с невозможностью вписать три квадрата в шестиугольник.

  По-моему, вы запутались между понятиями «октаэдр» и «заготовка». Задумайтесь, почему это соединение многогранников называется «соединением пяти октаэдров», а не «тридцати равнобедренных пирамид с квадратным основанием». Эти заготовки изображают вершины пяти больших октаэдров с одним общим центром, повернутых «сквозь» друг друга, так, что их грани пересекают друг друга так или этак, и, разумеется, не обязаны делать это строго под углом 60°. Вы придумали новое условие «каждая заготовка должна быть равнобедренной пирамидой с квадратным основанием» — ну, из таких заголовок правильная фигура не получится, но не потому, что она сама по себе не может существовать. — Dangaard (обс.) 11:15, 11 июля 2024 (UTC)
  • Уважаемый Dangaard!
  • Я с Вами не согласен. По-моему, Вы меня не поняли. Я не говорил, что это соединение тридцать равнобедренных пирамид. Это была лишь попытка устранить противоречие. А противоречие заключается в том, что вершины пяти объединяемых больших октаэдров с одним общим центром, повернутых "сквозь" друг друга так, что их грани пересекают друг друга так или эдак не могут изменить свою форму. Вершины октаэдра имеют четыре сходящихся грани с углами при вершине 60 градусов и при любых комбинациях октаэдров эти вершины "обязаны" оставаться неизменными. А в многограннике, о котором идет речь, это условие не выполняется, вершины видоизменились, и имеют попарно разные углы. Следовательно, объединены не октаэдры и такой монстр не может существовать. Sroelov (обс.) 12:21, 11 июля 2024 (UTC)
• Произошло недоразумение. Текст который я написал, открывая дискуссию оказался опубликованным частично. Ниже привожу полный текст.
• При изготовлении модели этого многогранника в соответствии с инструкцией, приведенной в книге М. Веннинджера "Модели многогранников", выяснилось, что при самом тщательном выполнении этой инструкции модель не может быть изготовлена. До этого я успешно изготовил 22 модель многогранников по инструкциям из этой книги, а на 23-й модели произошла осечка. Я был очень удивлен и внимательно проанализировал этот многогранник. В инструкции по предлагается изготавливать его из 30 заготовок имеющих форму пирамид, с ромбическим основанием с попарно равными сторонами. Эти соединяемые заготовки не имеют симметрии относительно оси октаэдра. В каждой вершине сходятся четыре ребра, которые только попарно равны между собой, и углы в месте соединения граней попарно равны 60 и 70 градусам. При вершине же октаэдра соединяются четыре грани с углами 60 градусов. Это явное несоответствие.
• Для того, чтобы устранить возникшее противоречие, я решил соединить между собой пирамиды с четырьмя углами при вершине 60 градусов и равными ребрами. Но при этом также встретилось противоречие. Использованные мной заготовки являются равнобедренными пирамидами с квадратным основанием.
• Рассмотрим одну из треугольных граней соединяемых октаэдров. В инструкции М. Веннинджера при каждой из вершин отсекается разносторонний треугольник с углами 59,97; 44,45 и 75,55 градусов. Оставшаяся часть является шестиугольником, в котором могут быть размещены три заготовки с ромбическим основанием. Но, как уже было сказано, эти заготовки не являются вершинами октаэдра.
• При соединении правильных пирамид на каждой треугольной грани соединяемых октаэдров отсекаются равносторонние треугольники, оставшаяся является правильным шестиугольником. Но в этом шестиугольнике не могут быть размещены три пирамиды с квадратным основанием.
• Таким образом, устранив одно противоречие с несоответствием углов, приходим к другому противоречию с невозможностью вписать три квадрата в шестиугольник.
• Поэтому я сделал вывод, что соединение пяти октаэдров не существует в трехмерном пространстве. Все статьи с его характеристиками, в том числе в Википедии, и все инструкции по его изготовлению, приведенными в монографиях и на различных сайтах в интернете, являются либо ошибкой, либо мистификацией.
• Некоторым подтверждением моего вывода является выдержка из статьи "Соединение 5-ти октаэдров" на сайте Многогранники.ru: " Этот цирковой еж мечтает стать диско шаром. В цветных углах многогранника прячется шутка, фокус и невероятные человеческие возможности". Sroelov (обс.) 12:30, 11 июля 2024 (UTC)
• Ниже приведено второе доказательство несуществования соединения пяти октаэдров без ссылок на какие-либо руководства.
• Октаэдр симметричен относительно любой из осей. Это значит, что при повороте вокруг этой оси на 90 градусов  фигура не изменяется. Такой же симметрией должно обладать и соединение пяти октаэдров.
• Соединение пяти октаэдров имеет 30 вершин. На каждой из восьми граней исходного октаэдра выступают по три вершины других октаэдров: 3х8+6=30. Выступающие октаэдры отсекают треугольники на гранях исходного октаэдра, оставшаяся область – шестиугольник. Эти отсекаемые треугольники могут быть либо разносторонними, либо равносторонними.
• В первом случае при повороте соединения пяти октаэдров вокруг оси исходного на 90 градусов  симметрия не соблюдается.   Следовательно, такая фигура не существует.
• Во втором случае основанием четырехгранной пирамиды является квадрат. А три квадрата не могут быть вписаны в шестиугольник. Следовательно, такая фигура не существует. Sroelov (обс.) 05:05, 12 июля 2024 (UTC)
  • Меня несколько заинтересовала эта тема, и я открыл книгу Веннинджера и даже сам вырезал из бумаги одну заготовку.
  • Я не вполне уверен, почему в книге там указываются углы с точностью до сотых долей и чуть-чуть меньше 60° (для поправок на толщину перегиба/склеивания бумаги?), но достаточно уверен в том, что все четыре угла при вершине идеальной «пирамидки» должны быть равны 60°, как и у октаэдра. Не понимаю, откуда у вас взялось 70°, если на схеме написано 59.97°. Конечно же, в ее основании лежит ромб, а не квадрат, это прекрасно видно и на изображениях нашего бедного многогранника, потому что октаэдры пересекают ребра друг друга не параллельно другим ребрам. Я бы не хотел, чтобы это звучало невежливо, но если бы у меня самого не получилось склеить рассчитанную на школьников модельку, я бы говорил самому себе «возьми себя в руки, ты наверняка допустил какую-то ошибку», а не «я гений, я опроверг две тысячи лет геометрии».

  • Октаэдр симметричен относительно любой из осей. Это значит, что при повороте вокруг этой оси на 90 градусов фигура не изменяется. Такой же симметрией должно обладать и соединение пяти октаэдров.

    Но у нас тут 5 октаэдров, а не один. Фигура не будет меняться при повороте на 72° по любой из ее осей, как и икосаэдр, по идее. Я вас приглашаю даже не клеить бумагу, а покрутить 3d-модель соединения пяти октаэдров в браузере здесь (или здесь) и задуматься над тем, как устроен этот многогранник и где в нем октаэдры. — Dangaard (обс.) 07:27, 12 июля 2024 (UTC)
    • Крутить модель ничего не дает, при этом подвох не виден. Предлагаю Вам склеить эту модель. Я уверен, что у Вас, как и у меня, это не получится, и тогда Вы поймете мою правоту. Желаю успеха!!! 46.39.34.41 07:34, 12 июля 2024 (UTC)
    • Очевидно, что пять соединенных октаэдров должны иметь ту же симметрию, что и исходный октаэдр. Да, икосаэдр не меняется при повороте его на 72 градуса вокруг любой из осей, но это не относится ни к одному октаэдру, ни к соединению пяти октаэдров, здесь другая симметрия. Эти фигуры должна оставаться неизменными при повороте на 90 градусов. Такой симметрии, как Вы видите, нет у соединения пяти октаэдров. Это доказывает невозможность существования соединения пяти октаэдров. 46.39.34.41 08:01, 12 июля 2024 (UTC)
    • Ответы 46.39.34.41 написал я. При отправке ответов я неправильно вошел в обсуждение. Sroelov (обс.) 08:16, 12 июля 2024 (UTC)
    • И еще одно соображение. Если Вы внимательно посмотрите на вырезанную Вами заготовку, то увидите, что у нее при вершине сходятся четыре грани, с углами 60, 60, 70, 70 градусов, и стороны при основании этой пирамидки не одинаковы, а только попарно равны между собой. Если бы, как Вы пишете, все четыре угла при вершине идеальной "пирамидки" были бы равны 60,60,60 и 60 градусов, тогда и все стороны при основании "пирамидки" были бы равны, и это была бы правильная четырехгранная пирамида. Но этого, как Вы видите, нет. Sroelov (обс.) 08:37, 12 июля 2024 (UTC)
      • Понятия не имею, откуда вы взяли эти 70 градусов. Вот схемы из книги: развертка, треугольная грань с обозначениями углов. Все углы при вершине заготовки должны быть одинаковыми — по 60° (на схеме указано 59,97°). Присмотритесь к развертке и обратите внимание, что прилегающие к вершине ребра заготовки попарно отличаются по длине, и соседние ее грани являются не одинаковыми равнобедренными треугольниками, но скошены в разные стороны и зеркально отражают друг друга. Да, мы получаем «ромб», да, так и должно быть. Возможно, на этой wireframe-модели лучше видно, как многогранник устроен «изнутри». — Dangaard (обс.) 10:00, 12 июля 2024 (UTC)
        • Я также рекомендую Вам присмотреться к заготовке. Все углы при вершине не могут быть одинаковыми. Заготовка состоит из четырех треугольников. Называю их слева направо по часовой стрелке. Первый это равносторонний треугольник с углом при вершине 40 градусов, у углах при основании по 70 градусов. Бедренные стороны этого треугольника в выбранном мной масштабе при склейке модели равны 31 мм, основание- 22,5 мм. Второй треугольник разносторонний. Сторона, примыкающая к первому треугольнику равна 31 мм, а угол против нее равен 75,58 градусов. Остальные два угла , примыкающие к первому треугольнику: у его вершины 44,45 градусов и у основания 59,97 градусов. Две стороны в выбранном мной масштабе равны 26.5 и 25 мм. Третий треугольник примыкает ко второму стороной равной 25 мм и расположен симметрично второму относительно этой стороны. Четвертый треугольник такой же как первый и расположен симметрично первому относительно средней стороны развертки (меду вторым и третьим треугольниками). Из этого описания однозначно следует, что углы при вершине каждой из 30-ти пирамид, из которых предлагается склеить модель соединения пяти октаэдров равны 70; 59,97; 59,97 и 70 градусов. То есть ваше утверждение, что все углы при вершине заготовки должны быть одинаковыми - по 60 градусов, ошибочно. В то время, как все углы при вершине октаэдра действительно по 60 градусов. Из этого однозначно следует, что по предлагаемой в книге Веннинджера развертке не может быть склеена модель соединения пяти октаэдров. А не может быть склеена потому, что ее не существует в трехмерном пространстве.
        • .
        • . Sroelov (обс.) 10:53, 12 июля 2024 (UTC)

          • Первый это равносторонний треугольник с углом при вершине 40 градусов, у углах при основании по 70 градусов.

            Нет, это неправильно. Все треугольники должны иметь одинаковые наборы углов (59,97°, 75,58°, 44,45°) и (59,97°, 44,45°, 75,58°), соседние треугольники должны быть полностью симметричны с одинаковыми длинами соответствующих сторон, и все прилегающие к вершине пирамиды (в центре разверстки с разрезом) углы должны быть 59,97°. Правильно сделанную пирамидку можно без труда сложить по сгибам вчетверо в один треугольник именно с такими углами, как на этой схеме. Либо в вашей копии книги развертка напечатана неправильно, либо вы допустили ошибки в измерениях. — Dangaard (обс.) 11:27, 12 июля 2024 (UTC)
            • Наш спор легко разрешить с помощью линейки и транспортира. Я не придумал приведенные мной числа, а получил их измеряя развертку, приведенную в книге Виннинджера "Модели многогранников" издательство "Мир", Москва 1974, стр. 53 В такой области знаний как математика не следует предполагать, что должно быть, а нужно взять транспортир и линейку и определить, что есть на самом деле. Для разрешения нашего спора рекомендую Вам это сделать. 46.39.34.33 12:43, 12 июля 2024 (UTC)
              • Ну, я открыл скан книги и честно померил транспортиром на экране прилегающие к вершине углы на схеме. Они, как это и можно было ожидать, оказались одинаковыми и равными 60°. Если бы какие-то из этих углов превышали 60°, стороны треугольников 1 и 3 (или 2 и 4) не могли бы образовать проходящую через вершину прямую линию (60°+60°+60°=180°). — Dangaard (обс.) 13:07, 12 июля 2024 (UTC)
                • Действительно, я сложил вчетверо развертку из книги Виннинджера и все получилось как Вы сказали.
                • Прошу свои извинения, это я попал на уловку на сайте "многогранники.ru" на странице Соединения пяти октаэдров. Там дана развертка с углами 70, 55,55 и 70 градусов. Поэтому у меня не получалось склеить этот многогранник. Кстати на этом сайте написано "Этот цирковой еж мечтает стать диско шаром. В цветных углах многогранников прячется шутка, фокус и невероятные человеческие возможности". И, к сожалению, это я попал на эту шутку. Всегда я пользовался развертками из книги Венниджера, а тут я почему-то взял развертку из другого источника. Я был уверен, что на всех сайтах даны одинаковые развертки и не проверил это обстоятельство.
                • Большое Вам спасибо за плодотворную дискуссию. На этом обсуждение темы можно закрыть.
                • Попробую склеить модель соединения пяти октаэдров. Я пенсионер, мне 84 года, клею модели для тренировки памяти и моторики. Sroelov (обс.) 13:54, 12 июля 2024 (UTC)
                  • Я, кажется, тоже запутал со своей стороны это обсуждение, упорно давая ссылки на polyhedr.com (что то же самое, что "многогранники.ру", просто английская версия сайта). Похоже, что это конкретное изображение деформировано — развертка непропорционально вытянута в высоту, и поэтому пирамидка получалась несимметричной. Я думаю, что для создания этой страницы использовали развертку из той же самой книги Веннинджера, но при загрузке картинки на сайт задали ей неправильные пропорции 317x317 пикселей, так что изначально неквадратное изображение стало квадратным. Развертка из скана книги правильная. — Dangaard (обс.) 18:16, 12 июля 2024 (UTC)
                    • Благодаря нашему обсуждению я вышел из тупика. в который нечаянно попал, и продолжу склейку моделей. До сегодняшнего дня в течение примерно 4,5 месяцев я склеил первые 22 модели из книги Веннинджера из цветного картона, тонированного в массе. Получились очень яркие и красивые модели диаметром 10-15 см. Это мое хобби на старости лет. Еще раз спасибо Вам за обсуждение. 46.39.34.33 20:27, 12 июля 2024 (UTC)
                    • Опять же это мое сообщение. Sroelov (обс.) 20:31, 12 июля 2024 (UTC)
                    • При разметке фрагментов Соединения пяти октаэдров, далее СПО, возникли проблемы с равенством сторон ромбических оснований выступающих пирамидок. По сути они должны быть строго одинаковы, но при самой тщательной разметке, которая будет подробно описана ниже, получены различия сторон до 10%. Хотелось бы понять, в чем причина и можно ли ее устранить.
                    • Стороны развертки пирамидки из книги Веннинджера, далее Книга, обозначены буквами Д-длинная, С -средняя, К -короткая. Значения Д=24 мм, С=22,5 мм, К=18 мм. Стороны на развертке из Книги в принятых обозначениях слева направо: 1-й треугольник СДК, 2-й треугольник ДСК, 3-й треугольник КСД и 4-й треугольник ДСК. Основанием получаемой из этой развертки пирамидки является ромб со сторонами С=22,5 мм.
                    • Для склеивания модели СПО выбран масштаб 1,396 по отношению к Книге. При этом получены размеры Д=33.5 мм, С=31,4 мм, К=25.1 мм. Каждая сторона большой треугольной грани, равная 90 мм, разделена на три отрезка: первая сторона - Д, С, К. вторая сторона - Д,С,К и третья сторона также - Д.С.К. Затем точки разбиения соединены между собой таким образом, что: при вершинах образуются треугольники со сторонами Д,С.К, при этом все внутренние стороны С=30 мм; на гранях большого треугольника С-31,4 мм ( в соответствии с разверткой из Книги); соединение точек разметки с центром большого треугольника дает три стороны ромба С=33 мм. Таким образом, каждое ромбическое основание имеет стороны 30; 33; 33, 31,4 мм, хотя теоретически все стороны ромбов должны быть по 31,4 мм Разница в длине наибольшей и наименьшей сторон ромба составила 10%. Уверен. что это не ошибка построения, а причина глубже. Sroelov (обс.) 08:33, 13 июля 2024 (UTC)
                    • Попытка вписать три ромбических основания со сторонами 31,5 мм в треугольную грань октаэдра со стороной 90 мм привела к следующим результатам:
                    • -:Все три ромба повернуты на 5 градусов относительно центра грани.
                    • -Вершины наружных тупых углов ромбов вышли за пределы грани на 3 мм каждая;
                    • -Вершины внутренних тупых углов ромбов отошли от центра грани на 1,5 мм каждая так, что между ромбами образовалась пустое пространство в виде симметричной трехлучевой звезды с центром в центре грани и размерами лучей: основание - 3 мм, сторона - 31.5 мм.
                    • Очевидно, что полученное положение ромбов на грани не позволяет удовлетворительным образом склеить модель СПО. Поэтому обращаюсь к участникам настоящего обсуждения с вопросом: клеил ли кто-нибудь практически модель СПО и к каким результатам это привело? Sroelov (обс.) 15:02, 13 июля 2024 (UTC)
                    • В результатах, к которым привело вписывание трех ромбических оснований в грань октаэдра нужно убрать первый из них как ошибочный, остальные два приведенных результата справедливы. Sroelov (обс.) 15:35, 13 июля 2024 (UTC)
                    • Нашел ошибку в своих рассуждениях. Все сходится, модель СПО получилась! Спасибо за обсуждение. Sroelov (обс.) 11:35, 14 июля 2024 (UTC)
            • Последнее сообщение сделал я. Отправитель указан неверно из-за проблем с входом в систему. Sroelov (обс.) 12:47, 12 июля 2024 (UTC)
            • Треугольников, которые приведены в вашем сообщении на схеме, в вершине четырехгранной пирамиды только два. Они разносторонние и расположены в центре упоминаемой мной развертки из книги Виннинджера. По краям развертки находятся два равносторонних треугольника с теми самыми углами 40,70,70 градусов. Рекомендую Вам попробовать сложить эту развертку вчетверо по сгибам. Уверяю, у Вас это не получится. Sroelov (обс.) 13:09, 12 июля 2024 (UTC)
              • Вы либо ошиблись с измерениями, либо с вашей копией книги что-то не так. Бумажная заготовка, которую я сделал по развертке со ссылки выше со скана книги, легко складывается вчетверо. Все треугольники в ней имеют одинаковые наборы углов и длин сторон, как на этой схеме. Dangaard (обс.) 13:22, 12 июля 2024 (UTC)
                • Приношу свои извинения, я был неправ. Развертка из книги Веннинджера действительно сложилась вчетверо как Вы сказали.
                • К сожалению это я попал на уловку на сайте Моногогранники.ru на странице Соединение 5-ти октаэдров. Там сказано "Этот цирковой еж пытается стать диско шаром. В цветных углах многогранников прячется шутка, фокус и невероятные человеческие возможности. Я подумал, что на всех сайтах даны одинаковые развертки и не проверял, вот и попался.
                • Большое Вам спасибо за плодотворную дискуссию. На этом обсуждение темы можно завершить.
                • Попробую склеить модель по новой развертке. Мне 84 года, клею модели как хобби для тренировки памяти и моторики. Sroelov (обс.) 14:11, 12 июля 2024 (UTC)
        • Здравствуйте. Спасибо за замечания. 46.61.242.147 10:55, 12 июля 2024 (UTC)