Парадокс Монти Холла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В поисках автомобиля игрок выбирает дверь № 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь № 2. Стоит ли ему это делать?
Monty hall solution expanded second version.png

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Формулировка[править | править исходный текст]

Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы — участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор[править | править исходный текст]

Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½, вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно.

Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие — B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = , того, что за другими = 23.

Для каждой из оставшихся дверей вероятность выигрыша в сложившейся ситуации вычисляется так:

P(B) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
P(C) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

Где ½ — условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на «1» и «0».

После этого действия выражения принимают вид:

P(B) = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}
P(C) = \frac{2}{3}\cdot 0 = 0

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор — в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 23.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь (тогда ведущий откроет вторую проигрышную и вам останется поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами (вероятность 23), то есть если вы меняете дверь, вы выигрываете с вероятностью 23.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, то есть парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, как бы никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, так как вероятность правильного выбора будет уже ½. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

Дадим ещё одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, то есть из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, то есть, если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 23, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

Еще более наглядное объяснение можно дать, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту которую выбрал игрок и еще одну. Очевидно, что вероятность нахождения приза за каждой из них вовсе не ½. Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 23.

Другое поведение ведущего[править | править исходный текст]

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

Возможное поведение ведущего
Поведение ведущего Результат
«Адский Монти»: Ведущий предлагает сменить, если дверь правильная.[1] Смена всегда даст козу.
«Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная.[2] Смена всегда даст автомобиль.
«Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля.[3][4][5] Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь. Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q=1−p.[6][4][5] Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью \frac{1}{1+p}. Если правую — \frac{1}{1+q}
То же самое, p=q=½ (классический случай). Смена даёт выигрыш с вероятностью 23.
То же самое, p=1, q=0 («бессильный Монти» — усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе). Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую — вероятность ½.
Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с верятностью ½ в противном случае.[7] Смена даёт выигрыш с вероятностью ½.
Общий случай: игра повторяется многократно, вероятности машин, коз и дверей произвольные, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену.[8][9] Равновесие Нэша: ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 23). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще. Равновесие Нэша: ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша .

Упоминания[править | править исходный текст]

  • В фильме «Двадцать одно» преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачу: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь с автомобилем. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
  • В романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа» главные герои при помощи такого приёма выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
  • В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.
  • Парадокс Монти Холла обсуждается в дневнике героя повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки».
  • Парадокс Монти Холла проверялся «Разрушителями легенд».
  • Парадокс Монти Холла был показан в фильме «Игры разума».

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Tierney, John (July 21, 1991), "«Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?»", The New York Times, <http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260>. Проверено 18 января 2008. 
  2. Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-312-30463-3, (restricted online copy в Google Books).
  3. Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711–729.
  4. 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005a). «Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl». Math Horizons: September issue, 5–7. Online reprint, 2008.
  5. 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.
  6. Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284–287.
  7. Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.
  8. Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858–863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [1]
  9. Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it's a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58–71, February 2011. Eprint [2]

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
  • vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
  • vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)