Параметр распределения

Пара́метр распределе́ния не цилиндрической линейчатой поверхности — предел отношения кратчайшего расстояния между бесконечно близкими образующими к углу между ними.

Параметр распределения обращается в нуль для всех развертывающихся поверхностей, кроме цилиндрических.

Вывод формулы

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве $l$ определяется с использованием смешанного и векторного произведений по формуле

$l={\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})}{\left|[\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2}]\right|}},$

где $\mathbf {r} _{1}$ и $\mathbf {r} _{2}$ — радиус-векторы начальных точек этих прямых, а и — их направляющие векторы.

Применяя эту формулу к двум бесконечно близким образующим не цилиндрической линейчатой поверхности, получим следующее выражение главной части этого расстояния:

$\Delta l\approx {\frac {(\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ,d\mathbf {r} )}{\left|[\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ]\right|}},$

но

$[\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ]^{2}=d\mathbf {m} ^{2}\approx \Delta \varphi ^{2},$

то есть квадрату элемента угла между двумя бесконечно близкими образующими, и в результате получаем параметр распределения

$p=\lim _{\Delta \varphi \to 0}{\frac {\Delta l}{\Delta \varphi }}={\frac {(\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ,d\mathbf {r} )}{d\mathbf {m} ^{2}}}.$

Источники

• Норден А. П. Теория поверхностей. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. 260 с., ил.