Плоскость Немыцкого

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным[1]. Обозначается, как правило, L. Строится как подпространство плоскости с точками (x;y), где y\geqslant 0 с изменением топологии в точках (x;0): база окрестностей таких точек — открытые круги B( (x;\epsilon), \epsilon) и сама точка (x;0), где B(p,r) — круг, радиуса r, в точке p.

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: L — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Является связным, сепарабельным (d(L)=\omega) и нелинделёфовым (l(L)=2^\omega), вещественно полным пространством[2]. Его клеточность и характер счётны (c(L)=\omega, \chi(L)=\omega), а вес — несчётен (w(L)=2^\omega). При этом не является счётно паракомпактным[3], слабо паракомпактным[4], локально компактным пространством.

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»[5]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.