Плоскость Немыцкого
Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным[1]. Обозначается, как правило, .
Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.
Построение
[править | править код]Строится как подпространство плоскости с точками , где с изменением топологии в точках : база окрестностей таких точек — открытые круги и сама точка , где — круг радиуса с центром в точке .
Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).
Свойства
[править | править код]Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным () и нелинделёфовым (), вещественно полным пространством[3]. Его клеточность и характер счётны (, ), а вес — несчётен (). При этом не является счётно паракомпактным[4], слабо паракомпактным[5], локально компактным пространством.
Примечания
[править | править код]- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 118.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 50.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 293.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 474.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 485.
Литература
[править | править код]- Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.