Клеточность

Кле́точность (число Су́слина) — топологическая характеристика топологического пространства $X$, определяющаяся максимальным количеством открытых попарно непересекающихся множеств из $X$. Является кардинальным инвариантом и обозначается $c(X)$.

Как и для многих общетопологических инвариантов, конечная клеточность не представляет интереса; считается, что она не менее, чем счётна (то есть $\aleph _{0}$).

Наследственность

Не является наследственным инвариантом, то есть подпространство $U\subseteq X$ может иметь клеточность большую, чем $c(X)$. Для примера достаточно точку $0$ в отрезке $[0,1]$ размножить несчётное число раз, тогда подпространство из размноженных нулей будет иметь бо́льшую клеточность, чем отрезок, то есть больше $\aleph _{0}$, то есть $\aleph _{0}=c(X)<hc(X)={\mathfrak {c}}$. Другой пример ненаследования клеточности — плоскость Немыцкого.

Связь с другими инвариантами

Клеточность пространства не превосходит его плотность (которая, в свою очередь, не превосходит веса): $c(X)\leqslant d(X)\leqslant w(X)$. Также клеточность не превосходит спреда (который также не превосходит веса): $c(X)\leqslant hc(X)\leqslant w(X)$.

Для линейно упорядоченных пространств их характер не превосходит клеточности: $\chi (X)\leqslant c(X)$. Кроме того, для линейно упорядоченных пространств клеточность совпадает со спредом и наследственным числом Линделёфа: $c(X)=hc(X)=hl(X)$.

Не превосходят клеточность топологического пространства $X$ его число Линделёфа и экстент (в свою очередь, не превосходящий число Линделёфа): $e(X)\leqslant l(X)\leqslant c(X)$.

Примеры

Для вещественной прямой $\mathbb {R}$: $c(\mathbb {R} )=\aleph _{0}$. Для натуральных и целых чисел: $c(\mathbb {Z} )=c(\mathbb {N} )=\aleph _{0}$.

Для дискретного пространства мощности $\tau$: $c(D_{\tau })=\tau$.

Для ежа колючести $\tau$: $c(J(\tau ))=\tau$. (При $\tau \geqslant \aleph _{0}$ (достаточно взять по открытому множеству в каждой «иголке», не выходящему за «иголку»).

В целом для подпространства $U$ из евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$: $c(U)\leqslant \aleph _{0}$.

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 103,333. — 752 с.