Полуплоскость

Обзорная статья: Области комплексной плоскости

Верхняя полуплоскость

Полупло́скость — множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой на плоскости, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка. Эта прямая определяет полуплоскость и является её границей.

В устаревшей трактовке граница полуплоскости ей принадлежала.

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей.

Полуплоскость есть неограниченная область как одновременно открытое множество и неограниченное выпуклое множество.

Другое название полуплоскости — односторонник, это простейший плоский выпуклый многосторонник.

Полуплоскость является частным случаем трубчатой области

Определение полуплоскости

Декартовы координаты

В общем двумерном случае на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ с декартовыми координатами $(x,\,y)$ координаты точек полуплоскости отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой

$L(x,\,y)=Ax+By+C>0$,

где $A,\,B,\,C$ — постоянные, причём $A$ и $B$ одновременно не равны нулю.

Граница полуплоскости — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая

$L(x,\,y)=Ax+By+C=0$.

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей.

Комплексные координаты

На комплексной плоскости $\mathbb {C}$ с координатами $z=x+iy$ обычно рассматриваются следующие частные случаи:

• верхняя полуплоскость $y=\operatorname {Im} z>0$,
• нижняя полуплоскость $y=\operatorname {Im} z<0$,
• левая полуплоскость $x=\operatorname {Re} z<0$,
• правая полуплоскость $x=\operatorname {Re} z>0$.

Все полуплоскости, граница которых проходит через начало координат, можно представить следующей формулой:

$t-{\frac {\pi }{2}}<\operatorname {Arg} z<t+{\frac {\pi }{2}}$, $\,\,0\leqslant t<2\pi$.

Прямая и полуплоскость на комплексной плоскости

Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную прямую $L\subset \mathbb {C}$. Эта прямая определяется произвольной точкой $a\in L$ и вектором направления прямой $b\in \mathbb {C}$, поэтому её уравнение будет следующим:

$L=\{z=a+tb\colon \,b\neq 0,\,-\infty <t<\infty ,\,t\in \mathbb {R} \}.$

Так как $b\neq 0$, то уравнение прямой перепишем в следующем виде:

$L=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}=0,\,b\neq 0\right\}.$

Так как $b\in \mathbb {C}$ — направление прямой, положим $|b|=1$. В этом случае пусть $a=0$ и рассмотрим полуплоскость

$H_{0}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z}{b}}>0\right\}$,

где $b=e^{i\beta }$. Теперь при $z=re^{i\theta }$ имеем ${\frac {z}{b}}=re^{i(\theta -\beta )}$. Таким образом, $z$ принадлежит полуплоскости $H_{0}$, $z\in H_{0}$, тогда и только тогда, когда $\sin(\theta -\beta )>0$, то есть когда $\beta <\theta <\pi +\beta$. Следовательно, полуплоскость $H_{0}$ лежит слева от прямой $L$, если «идти по $L$ в направлении $b$».

Таким образом, полуплоскость

$H_{a}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}>0\right\}$

есть параллельный перенос полупроскости $H_{0}$ на вектор $a$, $H_{a}=a+H_{0}\equiv \{a+w\colon \,w\in H_{0}\}$. Следовательно, полуплоскость $H_{a}$ лежит слева от прямой $L$. Точно так же полуплоскость

$K_{a}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}<0\right\}$

лежит справа от прямой $L$.

Пример. Определение касательной

Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную окружность $C\subset \mathbb {C}$, $C=\{z\in \mathbb {C} \colon \,|z-c|=r,\,r>0,\,r\in \mathbb {R} \}.$ Возьмём на окружности $C$ произвольную точку $a$, $a=c+re^{i\alpha }$, и проведём через неё следующую прямую:

$L_{\beta }=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}=0,\,b=e^{i\beta }\right\}.$

Прямая $L_{\beta }$ касается окружности $C$ в точке $a$ тогда и только тогда, когда окружность $C$ полностью, кроме точки $a$, принадлежит одной из полуплоскостей с границей $L_{\beta }$, то есть когда для произвольной точки $z=c+re^{i\gamma }$ окружности $C$, $\gamma \neq \alpha$,

$\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}>0\,\,$ или $\,\,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}<0$,

то есть

$\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\cos \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\neq 0$,

поскольку верна следующая цепочка равенств:

${\frac {z-a}{b}}={\frac {c+re^{i\gamma }-(c+re^{i\alpha })}{e^{i\beta }}}={\frac {e^{i\gamma }-e^{i\alpha }}{e^{i\beta }}}=$

$={\frac {1}{e^{i\beta }}}(\cos \gamma +i\sin \gamma -(\cos \alpha +i\sin \alpha ))=$

$={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(-2\sin {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}+2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\cos {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)=$

$={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\left(i\sin {\frac {\gamma +\alpha }{2}}+\cos {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)\right)=$

$={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}e^{\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)=2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}e^{{\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta }=$

$=2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\left(\cos \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)+i\sin \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\right)$.

Так как $\gamma \neq \alpha$, то решением неравенства будет совокупность неравенств, состоящая из двух систем неравенств:

1) ${\frac {\gamma -\alpha }{2}}\neq 0$, $\,\,\left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\neq -{\frac {\pi }{2}}$,

${\frac {\gamma -\alpha }{2}}\neq 0$, $\,\,\left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}+\alpha -\beta +{\frac {\pi }{2}}\right)\neq 0$,

$\gamma \neq \alpha$, $\,\,\alpha -\beta +{\frac {\pi }{2}}=0$;

2) $\gamma \neq \alpha$, $\,\,\alpha -\beta -{\frac {\pi }{2}}=0$,

откуда окончательно получаем:

$\beta =\alpha \pm {\frac {\pi }{2}}$.

Отображения с полуплоскостью

Основная статья: Полоса (математика)

1. Единичный круг. На комплексной плоскости $\mathbb {C} (z)$ единичный круг $|z|<1$ и верхняя полуплоскость $\operatorname {Im} z>0$ дробно-линейно изоморфны, поскольку верхняя полуплоскость конформно отображается на единичный круг следующим дробно-линейным отображением:

$e^{i\theta }{\frac {z-a}{z-{\bar {a}}}},\,a\in \mathbb {C} ,\,\theta \in \mathbb {R} ,\,\operatorname {Im} a>0.$

2. Полуполоса. На комплексной плоскости $\mathbb {C}$ с координатами $z=x+iy$ однолистное и конформное преобразование $w=\sin z$ отображает полуполосу $-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y>0$ на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно:

• вертикальные лучи $\{x=x_{0},\,0<y<\infty \}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами $\pm 1$;
• горизонтальные отрезки $\{-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y=y_{0}\}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами $\pm 1$.

• Преобразование полуполосы в полуплоскость
• 
  Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией $w=\sin z$

Полупространство

Основная статья: Полупространство

Красная плоскость определяет синее полупространство

Полупространство — в случае трёхмерного пространства множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости. Эта плоскость определяет полупространство.

В общем трёхмерном случае в пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ с декартовыми координатами $(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})$ координаты точек $3$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости

$L(x,\,y,\,z)=Ax+By+Cz+D>0$,

где $A,\,B,\,C,\,D$ — постоянные, причём $A$, $B$ и $C$ одновременно не равны нулю.

Перейдём к $n$-мерному пространству $\mathbb {R} ^{n}$ с декартовыми координатами $(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})$. Здесь координаты точек $n$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости

$L(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b>0$,

где $a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n},\,b$ — постоянные, причём $a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}$ одновременно не равны нулю}.

Примеры

Рассмотрим два чисто математических примера.

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром $(x,\,y)$ и радиусом $r$ изображается точкой с координатами $(x,\,y,\,r)$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство.

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром $(x,\,y,\,z)$ и радиусом $r$ представляется точкой с координатами $(x,\,y,\,z,\,r)$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство.

Источники

• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 181—269. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
• Домрин А. В., Сергеев А. Г. Лекции по комплексному анализу (рус.). — М.: МИАН, 2004. — Т. 1. — 175 с., ил. — 200 экз. — ISBN 5-98419-007-9 (ч. I). — ISBN 5-98419-006-0.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип.. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
• Полуплоскость // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 259. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
• Полуплоскость // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 462. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Полуплоскость // Математический энциклопедический словарь (рус.) / гл. ред. Ю. В. Прохоров; ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Рохлин В. А. Площадь и объём // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 5—87. — 6924 с., ил. — 25 000 экз.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 1. — 320 с., ил. — 20 000 экз.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 2. — 400 с., ил. — 20 000 экз.
• John B. Conway. Functions of one complex variable (англ.) / Managing Editor P. R. Halmos; Editorial Board: F. W. Gehring, C. C. Moore. — Second Edition. — New York · Heidelberg · Berlin: Springer-Verlag, 1978. — XIV+319 p. — (Graduate texts in mathematics; 11).
• Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables (англ.). — Amsterdam: University of Amsterdam, 2011. — V+260 p.