Сферический сегмент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Полусфера»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент.

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом[1]. Если плоскость проходит через центр сферы, так что высота обоих сегментов равна радиусу сферы, то такие сферические сегменты называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — тело, ограниченное сферическим сегментом и совпадающим с ним границей кругом-основанием.

Объём и площадь поверхности[править | править код]

Если радиус основания сегмента равен , высота сегмента равна , тогда объём шарового сегмента равен [2]

,

площадь поверхности сегмента равна

или

.

Параметры , и связаны соотношениями

,
.

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

.

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) , в нижней части сферы , следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение и можно привести другое выражение для объёма:

.

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

.

Применение[править | править код]

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер[править | править код]

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен [3]

,

где

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению [4][5]

 .

Площадь поверхности, ограниченной кругами равных широт[править | править код]

Площадь поверхности, ограниченной кругами равных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна [6]

.

Обобщения[править | править код]

Сечения других тел[править | править код]

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы[править | править код]

Объём -мерного сегмента гиперсферы высотой и радиуса в -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

где (гамма-функция) задается выражением .

Выражение для объёма можно переписать в терминах объёма единичного -мерного шара и гипергеометрической функции или регуляризованной неполной бета-функции как

.

Формула для площади поверхности может быть записана в терминах площади поверхности единичного -мерного шара как

,

где .

Также справедливы следующие формулы[8]: , где ,

.

При

.

Было показано[9], что при и , где стандартное нормальное распределение.

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
  2. Polyanin, Andrei D & Manzhirov, Alexander V. (2006), Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, CRC Press, с. 69, ISBN 9781584885023, <https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PA69> .
  3. (1985) «Computation of molecular volume». J. Am. Chem. Soc 107: 1118–1124. DOI:10.1021/ja00291a006.
  4. (1982) «A method to compute the volume of a molecule». Comput. Chem. 6: 133–135. DOI:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
  5. (1964) «Van der Waals volumes and radii». J. Phys. Chem. 68: 441–451. DOI:10.1021/j100785a001.
  6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel. Successful Software Development. Проверено 29 августа 2016.
  7. (2011) «Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap». Asian J. Math. Stat. 4 (1): 66–70. DOI:10.3923/ajms.2011.66.70.
  8. (1986) «On minimax signal generation and reception algorithms (rus.)». Problems of Information Transmission 22: 49–54.
  9. (1991) «Game-theoretical problems of synthesis of signal generation and reception algorithms (rus.)». Problems of Information Transmission 27: 57–65.