Радиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску


1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. Для примера: прямой угол в градусной мере имеет 90 угловых градусов (по договоренности, это ниоткуда не следует). Тот самый угол в радианной мере имеет радиан 1,571 радиан.[3]. Из определения следует, что величина полного угла в радианной мере равна 2π радиан (см. рис. справа). В градусной мере полный угол имеет 360 угловых градусов.

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править код]

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9].

Кратные и дольные единицы[править | править код]

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
101 рад декарадиан дарад darad 10−1 рад децирадиан драд drad
102 рад гекторадиан град hrad 10−2 рад сантирадиан срад crad
103 рад килорадиан крад krad 10−3 рад миллирадиан мрад mrad
106 рад мегарадиан Мрад Mrad 10−6 рад микрорадиан мкрад µrad
109 рад гигарадиан Град Grad 10−9 рад нанорадиан нрад nrad
1012 рад терарадиан Трад Trad 10−12 рад пикорадиан прад prad
1015 рад петарадиан Прад Prad 10−15 рад фемторадиан фрад frad
1018 рад эксарадиан Эрад Erad 10−18 рад атторадиан арад arad
1021 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10−21 рад зепторадиан зрад zrad
1024 рад иоттарадиан Ирад Yrad 10−24 рад иокторадиан ирад yrad
     применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами[править | править код]

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, развернутый угол равен или радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / ()) или α[рад] × (180° / π),
α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ) = (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

(или 1 рад в минутах) =

(или 1 рад в секундах) =

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
(или 1 рад в сотых долях «сантиграда») =
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа () делаем именованное () и поэтому должны множить на или ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на или либо же умножать на перевёрнутую дробь

Пример 1. Перевести в радианы

[10]

[10]

[10]

[10]

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на (как правило, этот способ более точен)

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

Итого

Радианная мера в математическом анализе[править | править код]

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше , — то до шестого знака после запятой[11]:

История[править | править код]

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[12]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[13].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»[14][15][16].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
  2. Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
  3. Выгодский, 1965.
  4. Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
  5. David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения 8 сентября 2015.
  6. Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения 19 декабря 2014.
  7. Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
  8. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (недоступная ссылка). Дата обращения 18 сентября 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года.
  9. Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения 19 декабря 2014.
  10. 1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
  11.  
    (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
    (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
    Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы и ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
  12. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005).
  13. Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi. — Berlin : Akademie Verlag, 1953. — P. 40.
  14. Cajori, Florian. History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 147–148. — ISBN 0-486-67766-4.
  15. Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — DOI:10.1038/083156a0. — Bibcode1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — DOI:10.1038/083217c0. — Bibcode1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — DOI:10.1038/083459d0. — Bibcode1910Natur..83..459M.
  16. Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения 30 сентября 2011.

Литература[править | править код]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
  • Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.