Праймориальное простое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида pn# ± 1, где pn# — праймориал pn (то есть произведение первых n простых чисел). Числа вида pn# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.

Отсюда следует

pn# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS
pn# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS

Несколько первых праймориальных простых

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30 029, 200 560 490 131, 304 250 263 527 209

Несколько первых чисел Евклида

3, 7, 31, 211, 2311, 30 031, 510 511 последовательность A006862 в OEIS.

К марту 2021 года[1] максимальным известным праймориальным простым числом было 1098133# − 1 (n = 85586) с 476,311 знаками. Число было найдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid в 2012 году[2].

Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: Предположим, что существует только n простых чисел, тогда число pn# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.

Question mark2.svg
Нерешённые проблемы математики: Бесконечно ли количество простых чисел Евклида?

Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).

Число Евклида E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида — простые.

Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.

Для всех n ≥ 3 последний знак En равен 1, поскольку En − 1 делится на 2 и 5.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. The Top Twenty: Primorial
  2. Primegrid.com; forum announcement, 2 March 2012

Ссылки[править | править код]

  • A. Borning, «Some Results for and » Math. Comput. 26 (1972): 567—570.
  • Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
  • Weisstein, Eric W. Primorial Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203.
  • Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.