Праймориал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
pn# как функция n на логарифмической шкале
n# как функция n (выделено красным), по сравнению с n!. Оба графика в логарифмической шкале

Праймориал (англ. Primorial, иногда именуется также «примориал») — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.

Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер и математик Харви Дабнер[en][1].

Определение для простых чисел[править | править вики-текст]

Для n-го простого числа pn праймориал pn# определён как произведение первых n простых чисел[2][3]:

где pk — k-е простое число.

Например, p5# обозначает произведение первых 5 простых чисел:

Таким образом, первые шесть праймориалов:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p0# = 1 как пустое произведение[en]).

Асимптотически праймориалы pn# растут в соответствии с

где является нотацией «o» малого[3].

Определение для натуральных чисел[править | править вики-текст]

В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n[2][4]:

где является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:

Таким образом, может быть вычислено как

Рассмотрим первые 12 праймориалов:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p5# = 11#, поскольку 12 является составным числом.

Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде или , что приближается к линейной n для больших значений n[5].

Праймориалы n# растут в соответствии с

Свойства и приложения[править | править вики-текст]

Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое многосоставное число[en] можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30)[6].

Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение меньше, чем для любого целого числа, где является функцией Эйлера.

Каждый праймориал является слабо тотиентным числом[en][7].

Аппроксимация[править | править вики-текст]

Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена[8] с использованием праймориала и функции Жордана[en] :

Таблица значений[править | править вики-текст]

n n# pn pn#
0 1 не существует 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410
16 30030 53 32589158477190044730
17 510510 59 1922760350154212639070
18 510510 61 117288381359406970983270
19 9699690 67 7858321551080267055879090
20 9699690 71 557940830126698960967415390

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Dubner, 1987, pp. 197–203.
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. 1 2 последовательность A002110 в OEIS.
  4. последовательность A034386 в OEIS.
  5. Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. A002182 — OEIS
  7. On sparsely totient numbers
  8. István Mező. The Primorial and the Riemann zeta function : [англ.] // The American Mathematical Monthly. — 2013. — Vol. 120. — P. 321.

Литература[править | править вики-текст]

  • Harvey Dubner Factorial and primorial primes // Journal of Recreational Mathematics. — 1987. — Vol. 19. — P. 197–203.