Преобразование треугольник-звезда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование треугольник-звезда позволяет упростить расчёт цепей, содержащих замкнутые контуры из резисторов и других пассивных элементов. Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам. Идея преобразования — замена треугольника из резисторов более простой эквивалентной схемой — звездой.

Прямое преобразование[править | править исходный текст]

TriangleR.png StarR.png

Сопротивление между выводами 1 и 2 в схеме «звезда» есть R1+R2, а в схеме «треугольник» резистор R12 соединён параллельно с последовательно соединёнными R23 и R13, то есть сопротивление между выводами 1 и 2 R1+R2=R12(R23+R13)/(R12+R23+R13), аналогично для других пар выводов. Решая эту очень простую систему уравнений, получаем:

R_{1}=\frac{R_{12} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}
R_{2}=\frac{R_{12} \cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}
R_{3}=\frac{R_{23} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}


Преобразование треугольник-звезда бывает полезно, например, при расчёте сопротивления неуравновешенного моста: R1/R2≠R4/R3.

BridgeR.png

Обратное преобразование[править | править исходный текст]

Если решить исходную систему уравнений относительно сопротивлений R12, R13 и R23, то получим формулы для обратного преобразования, из звезды в треугольник:

R_{12}=R_{1}+R_{2}+\frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{3}}
R_{13}=R_{1}+R_{3}+\frac{R_{1} \cdot R_{3}}{R_{2}}
R_{23}=R_{2}+R_{3}+\frac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{1}}