Принцип общей ковариантности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Принцип общей ковариантности — принцип, утверждающий, что уравнения, описывающие физические явления в различных системах координат, должны иметь в них одинаковую форму. Такие уравнения называют общековариантными. Примером в ньютоновской механике являются уравнения движения в неинерциальных системах отсчёта, включающие в себя силы инерции.

Принцип общей ковариантности имел большое эвристическое значение для вывода уравнений общей теории относительности, где формулировался так: физическое уравнение выполняется в произвольном гравитационном поле, если

  • уравнение выполняется в отсутствие гравитации, то есть оно соответствует законам специальной теории относительности, когда метрический тензор в нем равняется тензору плоского пространства-времени Минковского и аффинная связность равна нулю (эквивалентность всех систем отсчета), и
  • физическое уравнение общековариантно, то есть оно сохраняет свою форму при произвольном преобразовании координат (физическое содержание уравнений не зависит от выбора системы координат).

Если в результате преобразования координат зависимые от них переменные (функции координат) изменились по некоторому закону, то принцип общей ковариантности требует, чтобы новые функции от новых координат удовлетворяли уравнениям того же вида, что и старые функции от старых координат.

Принцип общей ковариантности и принцип эквивалентности[править | править вики-текст]

Предположим, что мы рассматриваем какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее принципу общей ковариантности, в произвольном гравитационном поле. Уравнение общековариантно, то есть оно справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется локально-инерциальная система координат, в которой гравитация отсутствует. Условие соответствия законам специальной теории относительности в отсутствие гравитации означает, что уравнение справедливо в локально-инерциальной системе координат и, в силу общей ковариантности, справедливо во всех других системах координат. Таким образом, принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности.

Границы применимости[править | править вики-текст]

Только в малых областях можно находить системы координат, в которых, в силу принципа эквивалентности, отсутствуют эффекты гравитации. Поэтому принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с масштабами гравитационного поля.

Значение для общей теории относительности[править | править вики-текст]

Принцип общей ковариантности и требование соответствия закону тяготения Ньютона для слабых полей тяготения и медленных движений тяготеющих масс оказываются достаточными условиями для определения релятивистского закона тяготения общей теории относительности.

Математическое описание[править | править вики-текст]

Общековариантными преобразованиями называются преобразования координат вида x^{\mu} \rightarrow x^{\mu^{'}} и операторов частных производных \partial_{\mu} \rightarrow \partial_{\mu^{'}} = \sum_{\nu} \frac{\partial x^{\nu} }{\partial x^{\mu^{'}}}\partial_{\nu}[1]. Эти преобразования задают группу симметрий общей теории относительности[2]. Преобразования Лоренца являются частным случаем этих преобразований. Лагранжианы в общей теории относительности могут быть получены из лагранжианов специальной теории относительности заменой в них метрики Минковского на псевдориманову метрику g_{\mu \nu}, производных \partial_{\mu} на ковариантные производные D_{\nu} (D_{\nu}\tau^{\mu} = \partial_{\nu} \tau^{\mu} + \Gamma_{\alpha \nu}^{\mu} \tau^{\alpha}) и элемента объема d^{4}x на \sqrt{-g}d^{4}x[2].

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В. А. Фок «Теория пространства, времени и тяготения», 2-е изд., М., «Наука», 1961, 568 с.;
  • С. Вейнберг «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 4 «Тензорный анализ», п. 1 «Принцип общей ковариантности», с. 106—109;
  • Г. Ю. Тредер «Теория гравитации и принцип эквивалентности», М., «Атомиздат», 1973, 169 с., УДК 53.02;
  • П. Бергман «Загадка гравитации», пер. с англ. В. А. Угарова, «Наука», М., 1969, 530.1 Б 48 УДК 530.12:531.51, гл. 2 «Общая теория относительности», п. 10 «Принцип общей ковариантности», с. 79-84;
  • Иваненко Д.Д. , Сарданашвили ГА. Гравитация. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с. — ISBN 5-354-00538-8.