Аффинная связность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.

На гладком многообразии, каждая точка имеет своё касательное пространство. Аффинная связность позволяет рассматривать векторы для различных касательных пространств, как принадлежащие одному пространству. Благодаря этому, например, могут быть определены операции дифференцирования векторных полей.

Аффинная связность и тензорное исчисление[править | править вики-текст]

Подробнее см. статью Ковариантная производная.

В трёхмерном евклидовом пространстве определена операция дифференцирования векторных полей. При определении производной векторного поля на многообразии такой формулой полученная величина не является векторным (тензорным) полем. То есть при замене координат не преобразуется по тензорному закону. Чтобы результат дифференцирования был тензором, вводятся дополнительные поправочные слагаемые. Эти слагаемые известны как символы Кристоффеля.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть M — гладкое многообразие и C^\infty(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда аффинная связность на M — это билинейное отображение

\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y,
\end{matrix}

такое, что для любой гладкой функции fC(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

  1. \nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y, то есть, \nabla линейно по первому аргументу;
  2. \nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY, то есть \nabla удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Кручением афинной связности называется выражение
    U(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]
здесь [{*},{*}] скобки Ли

Литература[править | править вики-текст]

Оригинальные работы[править | править вики-текст]

В этой работе подход к исследованию аффинной связности мотивирован изучением теории относительности. Включает в себя подробное обсуждение систем отсчёта, и то, как связность отражает физическое понятие перемещения вдоль мировой линии.
В этой работе использован более математический подход к исследованию аффинной связности.
Аффинная связность рассматривается с точки зрения римановой геометрии. В приложении, написанном Робертом Германом, обсуждается мотивация с точки зрения теории поверхностей, а также понятие аффинной связности в современном смысле и основные свойства ковариантной производной.
  • Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 editions to 1922, with notes by Jürgen Ehlers (1980), translated 4th edition Space, Time, Matter by Henry Brose, 1922 (Methuen, reprinted 1952 by Dover) ed.), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2 

Современная литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.
  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения - М.: Наука, 1979.
  • Постников М.М. Гладкие многообразия (Лекции по геометрии. Семестр III).

См. также[править | править вики-текст]