Метрический тензор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческий те́нзор или ме́трика — это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

  • (Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу).

Способы задания[править | править вики-текст]

Координатное представление[править | править вики-текст]

Метрический тензор в локальных координатах , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей :

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

,

где  — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания[править | править вики-текст]

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора .

В случае невырожденных метрик

где  — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор , но тензор для неё неопределён.

Представление в поле реперов[править | править вики-текст]

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля и матрицы .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика[править | править вики-текст]

Метрика, которая индуцируется гладким вложением многообразия в евклидово пространство , может быть посчитана по формуле:

где означает матрицу Якоби вложения и  — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства , которые в этом случае можно отождествить с , определяются как

где обозначает скалярное произведение в .

Более обобщенно[править | править вики-текст]

Пусть многообразие с метрикой и гладкое вложение. Тогда метрика на , определённая равенством

называется индуцированной метрикой. Здесь обозначает дифференциал отображения .

Типы метрических тензоров[править | править вики-текст]

Совокупность метрических тензоров подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  • Вырожденные метрики, когда либо в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии.
  • Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём[править | править вики-текст]

Определитель матрицы метрического тензора дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

где  — это элемент -мерного объема, а  — дифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах:
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах метрика принимает вид:
  • Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах: :
  • Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
  • Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством[править | править вики-текст]

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть  — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора на , мы получаем, что , то есть отображение, которое переводит другой вектор в число , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

 — опускание индекса для вектора,
 — поднятие индекса для вектора,
 — пример одновременного поднятия индекса и опускания индекса для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963