Проблема Плато

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В вариационном исчислении проблема Плато заключается в доказательстве существования минимальной поверхности с заданной границей. Поставлена Ж. Лагранжем в 1760 году. Названа в честь Ж. Плато, проводившим опыты с мыльными плёнками.

Формулировка[править | править вики-текст]

Даны две точки P_1(x_1 , y_1) и P_2(x_2 , y_2) плоскости xy, пусть x_1<\;x_2. Пусть далее y=y(x) — уравнение кривой. соединяющей точки P_1 и P_2, то есть

y_1=y(x_1) , y_2=y(x_2).

Кривая вращается вокруг оси x, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, какова эта поверхность, если она должна быть минимальной. Таким образом, приходим к проблеме выбора функции y(x), для которой интеграл

S=2\pi\ \int\limits_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx

— площадь поверхности вращения — минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки P_1 и P_2, называются катеноидами.

Обобщение сформулированной выше задачи состоит в следующем. Дана замкнутая (жорданова) кривая в пространстве. Найти поверхность, проходящую через эту кривую, так чтобы площадь, ограниченная кривой была наименьшей.

История[править | править вики-текст]

Разные частные случаи задачи были решены. Однако только в 1930 году были найдены общие решения независимо Джесси Дугласом и Тибором Радо. Радо рассмотрел не совсем общий случай. За решение проблемы Плато Дуглас получил Филдсовскую премию 1936 года.

Литература[править | править вики-текст]

  • Douglas, Jesse (1931). «Solution of the problem of Plateau». Trans. Amer. Math. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1) 33 (1): 263–321. DOI:10.2307/1989472.
  • Reifenberg, Ernst Robert (1960). «Solution of the {Plateau} problem for m-dimensional surfaces of varying topological type». Acta Mathematica 104 (2): 1-92. DOI:10.1007/bf02547186.
  • Fomenko A.T. The Plateau Problem: Historical Survey. — Williston, VT: Gordon & Breach, 1989. — ISBN 978-2-88124-700-2.
  • Morgan Frank. Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide. — Academic Press, 2009. — ISBN 978-0-12-374444-9.
  • Будылин А. М. Вариационное исчисление. Л.: СПбГУ, 2001
  • Radó, Tibor (1930). «On Plateau's problem». Ann. Of Math. (2) (The Annals of Mathematics, Vol. 31, No. 3) 31 (3): 457–469. DOI:10.2307/1968237.
  • Struwe Michael. Plateau's Problem and the Calculus of Variations. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989. — ISBN 978-0-691-08510-4.
  • Almgren Frederick. Plateau's problem, an invitation to varifold geometry. — New York-Amsterdam: Benjamin, 1966. — ISBN 978-0-821-82747-5.
  • Harrison, Jenny (2012). «Soap Film Solutions to Plateau's Problem». Journal of Geometric Analysis 24: 271–297. DOI:10.1007/s12220-012-9337-x.

Ссылки[править | править вики-текст]