Проблема четырёх красок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Проблема четырёх красок
Административная карта России, раскрашенная в четыре цвета

Теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета. При этом области могут быть как односвязными, так и многосвязными (в них могут присутствовать «дырки»), а под общим участком границы понимается часть линии, то есть стыки нескольких областей в одной точке не считаются общей границей для них. Задача раскраски карты на плоскости эквивалентна задаче на сфере.

Эта теорема была сформулирована Фрэнсисом Гутри (англ.) в 1852 году, однако доказать её долгое время не удавалось. В течение этого времени было предпринято множество попыток как доказательства, так и опровержения, и эта задача носила название проблемы четырёх красок[1].

Для простых карт достаточно и трёх цветов, а четвёртый цвет начинает требоваться, например, тогда, когда имеется одна область, окружённая нечётным числом других, которые соприкасаются друг с другом, образуя цикл. Теорема о пяти красках, утверждающая, что достаточно пяти цветов, имела короткое несложное доказательство и была доказана в конце XIX века, но доказательство теоремы для случая четырёх цветов столкнулось со значительными трудностями.

Теорема о четырёх красках была доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем (англ.) и Вольфгангом Хакеном (англ.) из Иллинойского университета. Это была первая крупная математическая теорема, доказанная с помощью компьютера. Первым шагом доказательства была демонстрация того, что существует определённый набор из 1936 карт, ни одна из которых не может содержать карту меньшего размера, которая опровергала бы теорему. Авторы использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из 1936 карт. Доказательство этого факта заняло сотни страниц. После этого Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера к теореме, потому что иначе он должен бы содержать какую-нибудь из этих 1936 карт, чего нет. Это противоречие говорит о том, что контрпримера нет вообще.

Изначально доказательство было принято не всеми математиками, поскольку его невозможно проверить вручную. В дальнейшем оно получило более широкое признание, хотя у некоторых долгое время оставались сомнения. Чтобы развеять оставшиеся сомнения, в 1997 году Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас опубликовали более простое доказательство, использующее аналогичные идеи, но по-прежнему проделанное с помощью компьютера. Кроме того, в 2005 году доказательство было проделано Джорджсом Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения (Coq v7.3.1)[2].

Эквивалентные формулировки[править | править код]

В теории графов утверждение теоремы четырёх красок имеет следующие формулировки:

Исторические попытки доказательства[править | править код]

Наиболее известные попытки доказательства:

  • Альфред Кэмпе предложил доказательство в 1879 году[3], его опровергли в 1890 году, но на основе его идей удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в 5 цветов[1].
  • Питер Тэт предложил другое доказательство в 1880 году[1][4], его опровергли в 1891 году.

Вариации и обобщения[править | править код]

Аналогичные задачи для других поверхностей (тор, бутылка Клейна и т. д.) оказались значительно проще. Для всех замкнутых поверхностей, кроме сферы (и ей эквивалентных плоскости и цилиндра) и бутылки Клейна, необходимое число красок может быть вычислено через эйлерову характеристику по формуле, предложенной в 1890 году Перси Джоном Хивудом[en][5] и окончательно доказанной на протяжении 1952—1968 годов группой математиков с наибольшим вкладом Герхарда Рингеля и Джона Янгса[en][6][7][8]

Для бутылки Клейна число равно 6 (а не 7, как по формуле) — это показал П. Франклин в 1934 году,[9] а для сферы — 4.

Для односторонних поверхностей рода [7]

В старших размерностях разумного обобщения задачи не существует, так как легко придумать уже трёхмерную карту с произвольным числом областей, которые все друг друга касаются.

Игра «четыре краски»[править | править код]

Стивен Барр предложил логическую игру на бумаге для двух игроков, названную «Четыре краски». По словам Мартина Гарднера — «Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырёх красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру»[10].

Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок начинает игру, рисуя произвольную пустую область. Второй игрок закрашивает её любым из четырёх цветов и в свою очередь рисует свою пустую область. Первый игрок закрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и так далее — каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску.

Стоит отметить, что в этой игре проигрыш одного из игроков вовсе не является доказательством неверности теоремы (четырёх красок оказалось недостаточно!). А лишь иллюстрацией того, что условия игры и теоремы весьма разнятся. Чтобы проверить верность теоремы для полученной в игре карты, нужно проверить связность нарисованных областей и, удалив с неё цвета, выяснить, можно ли обойтись лишь четырьмя цветами для закрашивания получившейся карты (теорема утверждает, что можно).

Существуют также следующие вариации игры:

  1. Карта заранее разбивается случайным образом на области различной величины, и каждый ход игры меняется игрок, который закрашивает область, а также меняется цвет (в строгой последовательности). Таким образом каждый игрок закрашивает карту только двумя цветами, а в случае, если не может закрасить так, чтобы области, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета, пропускает ход. Игра прекращается, когда ни один из игроков больше не сможет сделать ни одного хода. Выигрывает тот, у кого общая площадь закрашенных им областей больше.
  2. Квадрат разбит на несколько квадратов (в основном 4x4), и его стороны окрашены в один из четырёх цветов (каждая в разный цвет). Первым ходом закрашивается квадрат прилегающий к стороне, каждый последующий ход можно закрашивать тот квадрат, который прилегает к одному из закрашенных квадратов. Нельзя закрашивать квадрат теми цветами, которыми закрашен один из прилегающих к нему квадратов (в том числе и по диагонали) или прилегающая к квадрату сторона. Выигрывает игрок, делающий последний ход.

В культуре[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The four colour theorem. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (сентябрь 1996).
  2. Georges Gonthier A computer-checked proof of the Four Colour Theorem Microsoft Research Cambridge
  3. A. B. Kempe. On the geographical problem of the four colors // Amer. J. Math.. — 1879. — Т. 2. — С. 193—200.
  4. P. G. Tait. Note on a theorem in geometry of position // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. — 1880. — Т. 29. — С. 657—660.
  5. Percy John Heawood. Map-Colour Theorem // Quarterly Journal of Mathematics, Oxford. — 1890. — Т. 24. — С. 332–338.
  6. G. Ringel and J. W. T. Youngs. Solution of the Heawood Map-Coloring Problem // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1968. — Т. 60, вып. 2. — С. 438–445. — DOI:10.1073/pnas.60.2.438. — PMID 16591648.
  7. 1 2 Рингель Г. Теорема о раскраске карт / Перевод с английского В. Б. Алексеева. — М.: Мир, 1977. — 256 с.
  8. Болтянский, 1982, с. 77.
  9. P. Franklin. A Six Colour Problem // J. Math. Phys. — 1934. — Т. 13. — С. 363—369.
  10. Мартин Гарднер. Проблема четырёх красок // Математические головоломки и развлечения = Mathematical puzzles and diversions. — 2-е изд. — М.: «Мир», 1999. — С. 389-390. — 447 с. — ISBN 5-03-003340-8.
  11. Martin Gardner. The Island Of Five Colours. — N.Y.: Fantasia Mathematica, 1958.

Литература[править | править код]