Проблема 196

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема 196 — условное название нерешённой математической задачи: неизвестно, приведёт ли операция «перевернуть и сложить», применённая к числу 196 какое-то количество раз, к палиндрому — числу, читающемуся с конца так же, как с начала.

Число Лишрел (англ. Lychrel number) — это натуральное число, которое не может стать палиндромом с помощью итеративного процесса «перевернуть и сложить» в десятичной системе счисления. Этот процесс называется 196-алгоритмом. Название «Lychrel», придуманное Wade VanLandingham, — примерная анаграмма имени его подруги — Шерил (англ. Cheryl). Строго доказанных чисел Лишрел не существует, но многие числа предполагаются таковыми, причём наименьшее из них — 196.

Перевернуть и сложить[править | править вики-текст]

«Перевернуть и сложить» (англ. Reverse-Then-Add) — название операции, выполняемой над числом. Суть заключается в сложении исходного десятичного числа с его перевёрнутой копией (числом, записанным с конца). Например, 56 + 65 = 121, 521 + 125 = 646.

Некоторые числа (в частности, все однозначные и двузначные числа) становятся палиндромами достаточно быстро — после нескольких применений операции, и поэтому не являются числами Лишрел. Около 80 % всех чисел, меньших 10000, разрешаются в палиндром в 4 или меньше шагов. Около 90 % — за 7 и меньше шагов.

Вот несколько примеров чисел не-Лишрел:

  • 56 становится палиндромом после одной итерации: 56 + 65 = 121.
  • 57 становится палиндромом после двух итераций: 57 + 75 = 132, 132 + 231 = 363.
  • 59 становится палиндромом после трех итераций: 59 + 95 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111
  • 89 проходит необычно много — 24 итерации (наибольшее кол-во для чисел менее 10000, которые точно разрешаются в палиндром), прежде чем достичь палиндрома 8813200023188.
  • 10 911 достигает палиндрома 4668731596684224866951378664 после 55 шагов.
  • 1 186 060 307 891 929 990 проходит 261 итерацию и становится 119-циферным палиндромом 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544. Это число является в настоящее время мировым рекордом (наиболее отложенным палиндромом). Оно было найдено Джейсоном Дусеттом с помощью компьютера 30 ноября 2005 года.

В мае 2017 года телеканал МИР24 сообщил, что московский школьник Андрей Щебетов обнаружил самый большой известный отложенный палиндром - число 1999291987030606810.

Первое известное число, начиная с 0, которое, видимо, не образует палиндром, — трёхзначное число 196. Это наименьший номер кандидата Lychrel.

Открытая проблема[править | править вики-текст]

В других основаниях для некоторых чисел может быть доказано, что они не образуют никогда палиндром после последовательных итераций[1][2], но не было обнаружено таких доказательств для 196 и других десятичных чисел.

Существует гипотеза, что 196 и другие числа, которые пока ещё не стали палиндромом, являются числами Лишрел, но ни для одного числа нет строгого доказательства, что оно Лишрел. Подобные числа неофициально называют «кандидаты в числа Лишрел». Первые несколько кандидатов в Лишрел последовательность A023108 в OEIS:

196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997.

Выделенные жирным считаются базовыми числами Лишрел (см. ниже). Компьютерные программы Джейсона Дусетта, Яна Петерса и Бенджамина Деспреса нашли другие кандидаты Лишрел. Более того, Бенджамин Деспрес выявил все базовые числа Лишрел, состоящие из менее, чем 17 цифр[3]. Сайт Wade VanLandingham содержит списки базовых чисел Лишрел для каждой длины числа.[4]

Метод грубой силы, первоначально разработанный Джоном Уокером, был усовершенствован, чтобы использовать поведение при итерациях. Например, Vaughn Suite разработал программу, которая сохраняет только первые и последние несколько цифр каждой итерации, позволяя тестировать цифровые закономерности на протяжении миллионов итераций без необходимости сохранения каждой итерации в файл[5]. Но пока не было придумано алгоритма, который бы обходил итеративный процесс.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Поток числа 196 и родственных с ним чисел

Термин нить или поток (англ. thread) придумал Джейсон Дусетт, обозначая так последовательность чисел, получаемых в результате итераций первоначального числа. Базовое число (англ. seed) и его связанные родственные (англ. kin) числа сходятся в одном потоке. Поток не включает исходное базовое число или его родственника, но только числа, которые являются общими для обоих, после того, как они сойдутся.

Базовые числа представляют собой подпоследовательность чисел Лишрел, то есть наименьшее число из каждого не производящего палиндром потока. Базовое число может быть само по себе палиндромом. Первые три примера выделены полужирным шрифтом в приведённом выше списке.

Родственные числа представляют собой подмножество чисел Лишрел, которые включают все числа потока, за исключением базового, или любое число, которое вольётся в данный поток после одной итерации. Этот термин был представлен Кодзи Ямаситой в 1997 году.

Квест 196[править | править вики-текст]

Поскольку 196 (по основанию 10) является наименьшим кандидатом в числа Лишрел, оно получило наибольшее внимание.

Джон Уокер (англ.) начал квест, посвящённый изучению потока «196», 12 августа 1987 года на рабочей станции Sun 3/260. Он написал программу на C, которая выполняет итерации «перевернуть и сложить» и проверяет на палиндром после каждого шага. Программа была запущена в фоновом режиме с низким приоритетом. Она сбрасывала контрольные точки в файл каждые два часа и в момент закрытия системы, записывая достигнутые к тому времени число и номер итерации. Она перезапускалась сама автоматически из последней контрольной точки после каждого включения компьютера. Она работала в течение почти трёх лет, а затем остановилась (как было запрограммировано) 24 мая 1990 года с сообщением:

«
Достигнута точка остановки на проходе 2 415 836.
Число содержит 1 000 000 цифр.
»

196 увеличилось до числа в один миллион разрядов после 2 415 836 итераций без достижения палиндрома. Уокер опубликовал свои выводы в Интернет вместе с последней контрольной точкой, приглашая других возобновить поиски на основе последнего достигнутого числа.

В 1995 году Тим Ирвин использовал суперкомпьютер и достиг отметки в два миллиона цифр всего за три месяца, опять не найдя палиндрома. Джейсон Дусетт затем последовал их примеру и достиг 12,5 миллионов цифр в мае 2000 года. Wade VanLandingham, используя программу Джейсона Дусетта, достиг 13 миллионов цифр, что было опубликовано[6] в Yes Mag — канадском научном журнале для детей. С июня 2000 года VanLandingham продолжал нести флаг первенства, используя программы, написанные различными энтузиастами. К 1 мая 2006 года VanLandingham достиг отметки 300 миллионов цифр (со скоростью одного миллиона цифр каждые 5-7 дней). Используя распределённые вычисления, в 2011 году Romain Dolbeau совершил миллиард итераций и получил число, состоящее из 413 930 770 цифр[7], а в июле 2012 года его вычисления достигли числа с 600 млн цифр[8]. Палиндром всё еще не обнаружен.

Другие кандидаты в числа Лишрел, которые подвергались такому же перебору, включают 879, 1997 и 7059: они были прослежены на протяжении миллионов итераций без обнаружения палиндрома.[9]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]