Простое кольцо (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Простое кольцо — кольцо , такое что в нет двусторонних идеалов, отличных от и .

Примеры и теоремы[править | править вики-текст]

  • Рассмотрим кольцо такое, что , и аддитивная группа имеет простой порядок. Тогда кольцо  — простое, так как в нет собственных подгрупп.
  • Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
  • Ассоциативное коммутативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда, когда простое кольцо.
  • Если  — поле,  — положительное целое число, то кольцо матриц  — простое.

Теорема Веддербёрна[править | править вики-текст]

Пусть  — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо изоморфно кольцу всех матриц порядка над некоторым телом. При этом определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела кольцо является простым кольцом.

Литература[править | править вики-текст]

  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.