Простое кольцо (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Простое кольцо — кольцо R, такое что R^2 \neq \{0\} в R нет двусторонних идеалов, отличных от R и \{0\}.

Примеры и теоремы[править | править исходный текст]

  • Рассмотрим кольцо R такое, что R^2 \neq \{0\}, и аддитивная группа \langle R, +\rangle имеет простой порядок. Тогда кольцо R — простое, так как в \langle R, + \rangle нет собственных подгрупп.
  • Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
  • Ассоциативное коммутативное кольцо R с единицей является полем тогда и только тогда, когда R простое кольцо.
  • Если P — поле, n — положительное целое число, то кольцо матриц \mathrm{Mat}(P, n) — простое.

Теорема Веддербёрна[править | править исходный текст]

Пусть R — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо R изоморфно кольцу всех матриц порядка n над некоторым телом. При этом n определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела D кольцо \mathrm{Mat}(D, n) является простым кольцом.

Литература[править | править исходный текст]

  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.