Пространство Орлича

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега.


Определение[править | править вики-текст]

Определение 1[править | править вики-текст]

Пусть — некоторая фиксированная -функция[1], а — дополнительная[2] к ней -функция; -- множество конечной меры.

Пространством Орлича называется совокупность всех измеримых функций , удовлетворяющих условию при всех , таких что .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: .

Определение 2[править | править вики-текст]

Пусть — некоторая фиксированная -функция.

Пространством Орлича называется множество всех измеримых функций , имеющих конечную норму Люксембурга

Эквивалентность определений[править | править вики-текст]

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой выполнены неравенства

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства[править | править вики-текст]

  • сепарабельно тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет -условию [3].
  • Назовем классом Орлича множество таких измеримых функций, для которых Пространство Орлича совпадает с классом Орлича тогда и только тогда, когда удовлетворяет -условию.
  • Пространством назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в . Если удовлетворяет -условию, . В противном случае .
  • сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.
  • является сопряженным пространством к , где и — дополнительные друг к другу -функции.
  • Если [4], то . Верно и обратное.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если то .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. — функцией называется функция M(u), допускающая представление , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: .
  2. Взаимно дополнительными называются — функции , удовлетворяющие уравнениям , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: , а определена при равенством .
  3. -условие:
  4. , если найдутся , такие, что

Литература[править | править вики-текст]

  • Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.

Пояснения[править | править вики-текст]