Векторная решётка

Ве́кторная решётка ($K$-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве $X$ с произвольным выделенным подклассом элементов $X_{+}\subset X$, называемых положительными элементами ($0\notin X_{+}$), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: $x>y\Leftrightarrow x-y\in X_{+}$ (в этом случае $x\in X_{+}\Rightarrow x>0$), если при этом выполнены следующие условия:

• если $x>0$, то $x\neq 0$,
• если $x>0$ и $y>0$, то $x+y>0$
• для любых двух элементов $x,y\in X$ существует их супремум $x\vee y$,
• если $x>0$ и для элемента числового поля $\lambda$ выполнено $\lambda >0$, то $\lambda x>0$.

Всякая векторная решётка дистрибутивна.

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента $x\in X$ в виде разности двух положительных элементов $x=x_{+}-x_{-}$, где $x_{+}=x\vee 0$ называется положительной частью элемента $x$, а $x_{-}=(-x)\vee 0$ — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: $|x|=x_{+}+x_{-}$, причём всегда выполнено $x\leqslant x_{+}\leqslant |x|$. Для ограниченности множества $U\in X$ в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов $U^{*}=\{|x|,\,x\in U\}$.

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки.

Литература

• А. В. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. Банаховы решетки – некоторые банаховы аспекты теории // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, № 2 (206). — С. 137–183.
• Вулих Б. З. Глава III. Линейные структуры // Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 408 с. — 9000 экз.