Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть $X$ и $Y$ суть два непустых компактных подмножества метрического пространства $M$. Тогда расстояние по Хаусдорфу, $d_{H}(X,\;Y)$, между $X$ и $Y$ есть минимальное число $r$ такое, что замкнутая $r$-окрестность $X$ содержит $Y$ и также замкнутая $r$-окрестность $Y$ содержит $X$.

Замечания

• Другими словами, если $|xy|$ обозначает расстояние между точками $x$ и $y$ в $M$ то

  $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}|xy|,\;\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}|xy|\right\}.$

• Эквивалентное определение:

  $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _{Y}(m)|\,\right\},$

где $\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}$ обозначает функцию расстояния до множества $X$.

Свойства

Пусть $F(M)$ обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства $M$ с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства $F(M)$ полностью определяется топологией $M$.
• (Теорема выбора Бляшке) $F(M)$ компактно тогда и только тогда, когда компактно $M$.
• $F(M)$ полно тогда и только тогда, когда $M$ полное.

Вариации и обобщения

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть $X$ и $Y$ два компактных подмножества евклидова пространства, тогда $D_{H}(X,\;Y)$ определяется как минимум $d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )}$ по всем движениям евклидова пространства $I$. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»
• Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.