Метрика Громова — Хаусдорфа

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г., а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях $X\hookrightarrow Z$ и $Y\hookrightarrow Z$ в общее метрическое пространство $Z$. При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам $Z$.

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между $X$ и $Y$ в дизъюнктном объединении $X\sqcup Y$, снабжённым метрикой $\rho$ такой, что сужение $\rho$ на $X$ совпадает с метрикой на $X$ и сужение $\rho$ на $Y$ совпадает с метрикой на $Y$. При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам $\rho$.

Комментарии

• Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами $X$ и $Y$» говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между $X$ и $Y$».
• Расстояние между изометрическими классами $X$ и $Y$ обычно обозначается $d_{GH}(X,Y)$ или $|X,Y|_{GH}$.
• Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается $GH$, ${\mathcal {M}}$ или ${\mathfrak {M}}$.
• Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается ${\mathcal {GH}}$.

Связанные определения

• Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств $X_{n}$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства $X_{\infty }$, если $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ при $n\to \infty$

Свойства

• Метрическое пространство $GH$ является линейно связным, полным, сепарабельным.
  • Более того, $M$ является геодезическим; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
• Пространство Громова — Хаусдорфа $GH$ глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна, однако локально имеется много нетривиальных изометрий.
• Пространство $GH$ изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона ${\mathcal {U}}$ с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения ${\mathcal {U}}$.
• Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство $X$ метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого $\varepsilon >0$ существует такое целое положительное число $N(\varepsilon )$, что любое пространство из $X$ допускает $\varepsilon$-сеть из не более чем $N(\varepsilon )$ точек.
  • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

• В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
• Если разрешить метрике принимать значение $\infty$, то можно также отказаться от конечности диаметра.

Литература

• M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.