Метрика Громова — Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975[1][2], а затем переоткрыта и обобщена Громовым в 1981[3].

Определение[править | править код]

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств и определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях и в общее метрическое пространство . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между и в дизъюнктном объединении , снабжённым метрикой такой, что сужение на совпадает с метрикой на и сужение на совпадает с метрикой на . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам .

Комментарии[править | править код]

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами и » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между и ».
  • Расстояние между изометрическими классами и обычно обозначается
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается или .

Связанные определения[править | править код]

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства , если при

Свойства[править | править код]

  • Метрическое пространство является линейно связным, полным, сепарабельным. Недавно было показано, что оно также является геодезическим[4], т.е. любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
  • Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
    • Семейство метрических пространств называется универсально вполне ограниченным если для любого существует целое положительное число токое, что любое пространство из допускает -сеть из не более чем точек.
    • Из этого свойства в частности следует теорема Громова о компактности аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания[править | править код]

  1. D. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975
  2. A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)", arXiv:1612.00728
  3. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.
  4. A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), "The Gromov-Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic", arXiv:1504.03830, <http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf> 

Литература[править | править код]

  • M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
  • Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.