Метрика Громова — Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975[1][2], а затем переоткрыта и обобщена Громовым в 1981[3].

Определение[править | править вики-текст]

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств и определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях и в общее метрическое пространство . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между и в дизъюнктном объединении , снабжённым метрикой такой, что сужение на совпадает с метрикой на и сужение на совпадает с метрикой на . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам .

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами и » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между и ».
  • Расстояние между изометрическими классами и обычно обозначается
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается или .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства , если при

Свойства[править | править вики-текст]

  • Метрическое пространство является линейно связным, полным, сепарабельным. Недавно было показано, что оно также является геодезическим[4], т.е. любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
  • Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
    • Семейство метрических пространств называется универсально вполне ограниченным если для любого сущаествует целое полжительное число токое, что любое пространство из допускает -сеть из не более чем точек.
    • Из этого свойства в частности следует теорема Громова о компактности
    • Эта теорема аналогична теореме выбора Бляшке

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. D. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975
  2. A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)", arXiv:1612.00728
  3. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981
  4. A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), "The Gromov-Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic", arXiv:1504.03830, <http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf> 

Литература[править | править вики-текст]

  • M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
  • Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.