Связность (некоммутативная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия[en] и супергеометрия) может быть сформулирована в алгебраических терминах модулей и алгебр. Связность на модулях обобщает линейную связность на векторных расслоениях , записанную как связность на -модуле сечений .[1]

Коммутативная геометрия[править | править вики-текст]

Пусть  — коммутативное кольцо и  — -модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на .[2] Пусть  — модуль дифференцирований кольца . Связность на -модуле определяется как морфизм -модулей

такой что дифференциальные операторы первого порядка на удовлетворяют правилу Лейбница

Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка

На модуле для всех .

Если  — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями на и связностями на -модуле сечений of . При этом, соответствует ковариантному дифференциалу связности на

Супергеометрия[править | править вики-текст]

Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над -градуированными алгебрами.[3] Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.

Некоммутативная геометрия[править | править вики-текст]

Если  — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых -модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом.[4] Однако такие связности не обязательно существуют.

В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на -бимодулях над некоммутативными кольцами и . Существуют различные определения таких связностей.[5] Приведем одно из них. Связность на -бимодуле определяется как морфизм бимодулей

который удовлетворяет правилу Лейбница

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Koszul (1950)
  2. Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
  3. Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
  4. Landi (1997)
  5. Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Литература[править | править вики-текст]

  • Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
  • Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
  • Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
  • Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
  • Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
  • Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
  • Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515