Связность (некоммутативная геометрия)

Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия и супергеометрия) может быть сформулирована в алгебраических терминах модулей и алгебр. Связность на модулях обобщает линейную связность на векторных расслоениях $E\to X$, записанную как связность на $C^{\infty }(X)$ - модуле сечений $E\to X$.

Коммутативная геометрия

Пусть $A$ — коммутативное кольцо и $P$ — $A$-модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на $P$. Пусть $D(A)$ — модуль дифференцирований кольца $A$. Связность на $A$-модуле $P$ определяется как морфизм $A$-модулей

$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),$

такой что дифференциальные операторы первого порядка $\nabla _{u}$ на $P$ удовлетворяют правилу Лейбница

$\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.$

Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности $\nabla$ определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка

$R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.$

На модуле $P$ для всех $u,u'\in D(A)$.

Если $E\to X$ — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями $\Gamma$ на $E\to X$ и связностями $\nabla$ на $C^{\infty }(X)$-модуле сечений of $E\to X$. При этом, $\nabla$ соответствует ковариантному дифференциалу связности на $E\to X.$

Супергеометрия

Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над $\mathbb {Z} _{2}$-градуированными алгебрами. Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.

Некоммутативная геометрия

Если $A$ — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых $A$-модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом. Однако такие связности не обязательно существуют.

В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на $R-S$-бимодулях над некоммутативными кольцами $R$ и $S$. Существуют различные определения таких связностей. Приведем одно из них. Связность на $R-S$-бимодуле $P$ определяется как морфизм бимодулей

$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),$

который удовлетворяет правилу Лейбница

$\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.$

См. также

• Связность (дифференциальная геометрия)
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Супергеометрия

Литература

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
• Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

Ссылки

• Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (недоступная ссылка)