Дифференцирование (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются соответственно дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй.

Определение[править | править код]

Пусть  — алгебра над кольцом . Дифференцирование алгебры  — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница:

В более общем случае дифференцирование коммутативной со значениями в -модуле  — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае называют дифференциальным модулем над Множество всех дифференцирований со значениями в обозначается (, ) и является -модулем. Функтор является представимым, его представляющий объект обозначается или и называется модулем кэлеровых дифференциалов. является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над , то есть существует такое дифференцирование , что любое дифференцирование пропускается через :

Свойства[править | править код]

имеет естественную структуру алгебры Ли: .

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если  — алгебра с единицей, то для любого -модуля выполнено:

,

где  — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .

является функтором из в .

Градуированное дифференцирование[править | править код]

Для -градуированной алгебры с градуировкой элемента , обозначаемой , аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями степени , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби ():

Если , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

.

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература[править | править код]