Векторное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке пространства сопоставляется векторное пространство так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над .

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Примеры[править | править вики-текст]

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определения[править | править вики-текст]

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой является векторным пространством, со структурной группой обратимых линейных преобразований .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Подрасслоением U векторного расслоения V на топологическом пространстве X называется такая совокупность линейных подпространств , , которая сама имеет структуру векторного расслоения.
  • Линейным расслоением называется векторное расслоение ранга 1.

Морфизмы[править | править вики-текст]

Морфизм из векторного расслоения в векторное расслоение задается парой непрерывных отображений и , таких что

BundleMorphism-01.png
  • для любого , отображение индуцированное  — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что определяется (так как  — сюрьекция), в таком случае говорят, что покрывает .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из в , вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения и называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга ) над на тривиальное расслоение (ранга над ) называется тривиализацией , при этом называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Операции над расслоениями[править | править вики-текст]

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если  — векторное расслоение на , то существует расслоение на , называемое сопряжённым расслоением, слой которого в точке  — это сопряженное векторное пространство . Формально можно определить как множество пар , где и . Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений на (над заданным полем). Вот несколько примеров.

  • Сумма Уитни, или расслоение прямой суммы и  — это векторное расслоение на , слой которого в точке является прямой суммой векторных пространств и .
  • Расслоение тензорного произведения определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.
  • Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle)  — это векторное расслоение, слой которого в точке  — пространство линейных отображений из в (часто обозначаемое или ). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из в на и частями на .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.