Градуированная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

Если ненулевой элемент a принадлежит , то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировками[править | править вики-текст]

  • Если A — G—градуированная алгебра, а  — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:
  • На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
для всякого
Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры[править | править вики-текст]

Градуированный модуль[править | править вики-текст]

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

и

Морфизм градуированных модулей  — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть .

Для градуировааного модуля M можно определить -подкрутку как градуированный модуль, определённый правилом . (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если  — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если . Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

Литература[править | править вики-текст]

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam, 1982.