Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой. Мера $\mu$ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$, такое, что $\mu (A_{i})<\infty ,\;i\in \mathbb {N}$ и

$X=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}$.

Примеры

• Мера Лебега $m$ на $\mathbb {R}$ σ-конечна, так как

$\mathbb {R} =\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }[-i,i],\;m([-i,i])=2i<\infty ,\;i=1,2,\ldots$.

• Счётная мера $\mu$ на $\mathbb {R}$, то есть такая, что $\mu (\{x\})=1,\;\forall x\in \mathbb {R}$ не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.