Измеримое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Измеримое множество — в математике множество, имеющее измеримую характеристическую функцию (т. е. функцию, равную 1 на этом множестве и равную 0 на дополнении этого множества)[1].

Множество называется измеримым относительно меры , если оно принадлежит σ-алгебре, на которой определена . Для подмножеств евклидова пространства, если мера не указывается, предполагается что  — это мера Лебега.

Определение через внешнюю меру[править | править код]

Пусть имеется полукольцо S с единицей E и σ-аддитивная мера на нём — это значит, что для любого множества можно определить внешнюю меру. Тогда множество A называется измеримым относительно меры , если

где R(S) — минимальное кольцо, содержащее S, а  — симметрическая разность множеств. При этом множество измеримых множеств будет σ-алгеброй, а ограничение внешней меры на это множество — σ-аддитивной мерой.

Свойства[править | править код]

  • Объединение конечной или счётной совокупности измеримых множеств есть измеримое множество[2].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.